Álgebra Linear - Aula 04 - Dependência Linear

Álgebra Linear e aplicações (Callioli) - Núcleo, Imagem, Isomorfismos e Automorfismos

1) Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar uma base a dimensão do núcleo e da imagem:
$\hspace{0.3cm}$ a) $\ F:\mathbb{R^3} \rightarrow\mathbb{R}$ tal que $F(x,y,z)=x+y-z$.
$\hspace{0.3cm}$ b) $\ F:\mathbb{R^2} \rightarrow\mathbb{R^2}$ tal que $F(x,y)=(2x,x+y)$.
$\hspace{0.3cm}$ c) $\ F:\mathbb{R^3} \rightarrow\mathbb{R^4}$ tal que $F(x,y,z)=(x-y-z,x+y+z,2x-y+z,-y)$.
$\hspace{0.3cm}$ d) $\ F:P_2(\mathbb{R}) \rightarrow P_2(\mathbb{R})$ tal que $F(f(t))=t^2f''(t)$.
$\hspace{0.3cm}$ e) $\ F:M_2(\mathbb{R}) \rightarrow M_2(\mathbb{R})$ dada por $F(X)=MX+X$, onde $$M= \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$$ $\hspace{0.3cm}$ f) $\ F:M_2(\mathbb{R}) \rightarrow M_2(\mathbb{R})$ dada por $F(X)=MX-XM$, onde $$M= \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$ 2) Determinar um operador linear $\ F:\mathbb{R^3} \rightarrow\mathbb{R^3}$ cuja imagem é gerada $(2,1,1)$ e $(1,-1,2)$.

3) Determinar um operador linear do $\mathbb{R^4}$ cujo núcleo é gerado $(1,1,0,0)$ e $(0,0,1,0)$.

4) Determinar um operador linear do $\mathbb{R^3}$ cujo núcleo tenha dimensão 1.

5) Seja $F:\mathbb{R^3} \rightarrow\mathbb{R^3}$ tal que $F(1,0,0)=(1,1,0)$, $F(0,0,1)=(0,0,2)$ e $F(0,1,0)=(1,1,2)$. Determinar uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais: $\ker F$, $\Im F$, $\ker F \cap \textrm{Im} F$ e $\ker F + \textrm{Im}F$.

6) Mostrar que cada um dos operadores lineares do $\mathbb{R^3}$ a seguir e determinar o homomorfismo inverso em cada caso:
$\hspace{0.3cm}$ a) $\ F(x,y,z)=(x-3y-2z, y-4z, z)$.
$\hspace{0.3cm}$ b) $\ F(x,y,z)=(x, x-y, 2x+y-z)$.

7) Considere o operador linear do $\mathbb{R^3}$ definido por $F(1,0,0)=(1,1,1)$, $F(0,1,0)=(1,0,1)$ e $F(0,1,2)=(0,0,4)$. $F$ é inversível? Se for, determine o isomorfismo inverso.

8) Sejam $u,v \in\mathbb{R}^2$ tais que $\{u,v\}$ é uma base de $\mathbb{R}^2$. Seja $F:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^n$ uma transformação linear, mostrar que uma das seguintes alternativas se verifica:
$\hspace{0.3cm}$ a) $\{F(u),F(v)\}$ é LI.
$\hspace{0.3cm}$ b) $\dim \textrm{Im}=1$.
$\hspace{0.3cm}$ c) $\textrm{Im} F = \{0\}$.

9) Sejam $U$ e $V$ subespaços do espaço vetorial $W$ tais que $W=U\oplus V$. Consideremos o espaço vetorial $U\times V$ cuja adição é $(u_1,v_1)+(u_2,v_2)=(u_1+u_2,v_1+v_2)$ e cuja multiplicação por escalares é dada por $\alpha(u,v)=(\alpha u,\alpha v)$. Mostrar que é um isomorfismo de $U\times V$ em $W$ a aplicação assim definida: $F(u,v)=u+v$.

10) Seja $\{e_1,\dots,e_n\}$ a base canônica do $\mathbb{R^n}$. Seja $F:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ o operador linear dado por $F(e_1)=e_2, F(e_2)=e_3, \dots F(e_n)=e_1$. Determinar $F(x_1,\dots,x_n)$ e verificar se $F$ é um automorfismo. Se for, ache o automorfismo inverso.

11) Considere uma transformação linear $T:U\rightarrow V$. Provar que se o conjunto $\{T(u_1),\dots,T(u_r)\}$ é LI em $V$, então $\{u_1,\dots,u_r\}$ é LI em $U$. Provar que, se $T$ é injetora e $\{u_1,\dots,u_r\}$ é LI em $U$, então $\{T(u_1),\dots,T(u_r)\}$ é LI em $V$.

12) Consideremos o espaço vetorial $F:\mathbb{R}^\infty=\{(a_1,a_2,...)|a_i\in \mathbb{R}\}$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Mostrar que a transformação linear $\ T:\mathbb{R}^\infty \rightarrow\mathbb{R}^\infty$ tal que $T(a_1,a_2,...)=(0,a_1,a_2,...)$ é injetora mas não é sobrejetora.
$\hspace{0.3cm}$ b) Mostrar que a transformação linear $\ F:\mathbb{R}^\infty \rightarrow\mathbb{R}^\infty$ tal que $F(a_1,a_2,...)=(a_2,a_3,...)$ é sobrejetora mas não é injetora.
$\hspace{0.3cm}$ c) Encontrar uma aplicação linear injetora de $P(\mathbb{R})$ em $\mathbb{R}^\infty$.

13) Consideremos uma transformação linear $T:U\rightarrow V$. Se $\dim U > \dim V$, prove que existe um vetor não nulo $u_0 \in U$ tal que $F(u_0)=0$ (vetor nulo de $V$). (Ou seja, $F$ não é injetora).

14) Seja $W=U\oplus V$. Consideremos os operadores lineares de $W$ (projeções sobre $U$ e $V$, respectivamente) dados por $P_1(u+v)=u$ e $P_2(u+v)=v, \forall u+v \in W$. Definido $H:W \rightarrow W$, por $H(w)=P_1(w)-P_2(w),\forall w \in W$. Mostre que $H$ úm isomorfismo so espaço vetorial $W$ nele mesmo, isto é, $H$ é um automorfismo de $W$.

Tome $W=\mathbb{R}^2$, $U=[(1,1)]$, $V=[(1,-1)]$ e represente geometricamente $U$, $V$, $W$, $P_1$, $P_2$ e $H$.

15) Provar que $\mathbb{R}^2$ é isomorfo a qualquer subespaço de dimensão 2 do $\mathbb{R}^3$.

https://produto.mercadolivre.com.br/MLB-868314195-callioli-algebra-linear-nucleo-imagem-transformaco-linear-_JM

Carlos Callioli - Transformações Lineares

1) Quais das seguintes aplicações de $\mathbb{R}^3$ em $\mathbb{R}^3$ são operadores lineares?
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ F_1(x,y,z)=(x-y,x+y,0)$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ F_2(x,y,z)=(2x-y+z,0,0)$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ F_3(x,y,z)=(x,x,x)$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ F_4(x,y,z)=(2x^2+3y,x,z)$.

2) Seja $F:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ um operador linear assim definido na base canônica: $F(1,0,0)=(2,3,1), \ F(0,1,0)=(5,2,7)$ e $F(0,0,1)=(-2,0,7)$. Determinar $F(x,y,z)$, onde $(x,y,z)$ é um vetor genérico do $\mathbb{R}^3$ e mostrar que $F$ é um operador linear.

3) Consideremos o espaço vetorial $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{C}$ e seja $F:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ tal que $F(z)=\bar{z}$, $\forall z \in \mathbb{C}$. Mostre que $F$ é um operador linear. Se tivéssemos considerado o espaço vetorial $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{C}$, seria ainda $F$ um operador linear?

4) Verifique se são operadores lineares no espaço $P_n(\mathbb{R})$:
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ F:P_n(\mathbb{R}) \rightarrow P_n(\mathbb{R})$ tal que $F(f(t))=tf'(t)$ , $\forall f(t) \in P_n(\mathbb{R})$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ F:P_n(\mathbb{R}) \rightarrow P_n(\mathbb{R})$ tal que $F(f(t))=f'(t)+t^2f''(t)$ , $\forall f(t) \in P_n(\mathbb{R})$.

5) Existe um operador linear $F:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ tal que $F(1,1,1)=(1,2,3), \ F(1,2,3)=(1,4,9)$ e $F(2,3,4)=(1,8,27)$? Justifique a sua resposta.

6) Seja $u=(x,y,z,t)$ é um vetor genérico do $\mathbb{R}^4$. Quais das aplicações definidas abaixo são operadores lineares do $\mathbb{R}^4$?
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ F(u)=u+(1,0,1,0)$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ F(u)=(1,0,1,1)$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ F(u)=(x,y-z,y+z,x+t)$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ F(u)=(\cos x,y,z,t)$.

7) Sejan $U$ e $V$ subespaços de $W$ tais que $W=U \oplus V$. Sejam $P_1$ e $P_2$ aplicações de $W$ em $W$ tais que para todo $w=u+v$ de $W$ (com $u\in U$ e $v\in V$) associam, respectivamente, $u$ e $v$, ou seja, $P_1(w)=u$ e $P_2(w)=v$. Mostrar que $P_1$ e $P_2$ são lineares.

8) Seja $F$ um operador linear em $\mathbb{R}^2$ tal que $F(1,0)=(2,1)$ e $F(0,1)=(1,4)$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Determinar $F(2,4)$;
$\hspace{0.3cm}$ b) Determinar $(x,y)$ em $\mathbb{R}^2$ tal que $F(x,y)=(2,3)$.
$\hspace{0.3cm}$ c) Prove que $F$ é injetor e sobrejetor (bijetor).

9) Seja $A$ uma matriz fixa de $M_n(\mathbb{R})$. Mostrar que $F:M_n(\mathbb{R}) \rightarrow M_n(\mathbb{R})$ dada por $F(X)=XA-AX$, $\forall x \in M_n(\mathbb{R})$, é linear. Se $A=\lambda I_n$, com $\lambda \in \mathbb{R}$, o que é $F$?

10) Seja $F:U \rightarrow V$ uma transformação linear com a seguinte propriedade: se $\{u_1, \dots, u_n\}$ é uma base de $U$, então $\{F(u_1), \dots, F(u_n)\}$ é linearmente dependente em $V$. Provar que $F$ é injetora.

https://produto.mercadolivre.com.br/MLB-868317305-callioli-algebra-linear-transformacoes-lineares-_JM