Guidorizzi Vol. 1, Seção 10.2 - Primitiva de uma função.

1) Calcule.
$\hspace{0.3cm}$ a) $\displaystyle\int x\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ b) $\displaystyle\int 3\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ c) $\displaystyle\int (3x+1)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ d) $\displaystyle\int (x^2+x+1)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ e) $\displaystyle\int x^3\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ f) $\displaystyle\int (x^3+2x+3)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ g) $\displaystyle\int \frac{1}{x^2}\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ h) $\displaystyle\int \left(1+\frac{1}{x^3}\right)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ i) $\displaystyle\int \sqrt{x}\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ j) $\displaystyle\int \sqrt[3]{x}\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ l) $\displaystyle\int \left(1+\frac{1}{x}\right)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ m) $\displaystyle\int (2+\sqrt[4]{x})\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ n) $\displaystyle\int (ax+b)\ dx$, com $a$ e $b$ constantes.

$\hspace{0.3cm}$ o) $\displaystyle\int \left(3x^2+x+\frac{1}{x^3}\right)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ p) $\displaystyle\int \left(\sqrt{x}+\frac{1}{x^2}\right)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ q) $\displaystyle\int \left(\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}\right)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ r) $\displaystyle\int \left(3\sqrt[5]{x^2}+3\right)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ s) $\displaystyle\int \left(2x^3-\frac{1}{x^4}\right)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ t) $\displaystyle\int \frac{x^2+1}{x}\ dx$.

2) Seja $\alpha\neq0$ um número real fixo. Verifique que:
$\hspace{0.3cm}$ a) $\int \textrm{sen}\ \alpha x\ dx=-\dfrac{1}{\alpha}\cos\alpha x+k$.
$\hspace{0.3cm}$ b) $\int \cos \alpha x\ dx=\dfrac{1}{\alpha}\textrm{sen}\alpha x+k$.

3) Calcule.
$\hspace{0.3cm}$ a) $\displaystyle\int e^{2x}\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ b) $\displaystyle\int e^{-x}\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ c) $\displaystyle\int (x+3e^x)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ d) $\displaystyle\int \cos 3x\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ e) $\displaystyle\int \textrm{sen}\ 5x\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ f) $\displaystyle\int (e^{2x}+e^{-2x})\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ g) $\displaystyle\int (x^2+\textrm{sen}\ x)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ h) $\displaystyle\int (3+\cos x)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ i) $\displaystyle\int \frac{e^x+e^{-x}}{2}\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ j) $\displaystyle\int \frac{1}{e^{3x}}\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ l) $\displaystyle\int (\textrm{sen}\ 3x+\cos 5x)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ m) $\displaystyle\int \left(\frac{1}{x}+e^x\right)\ dx$, $x>0$.

$\hspace{0.3cm}$ n) $\displaystyle\int \textrm{sen}\frac{x}{2}\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ o) $\displaystyle\int \cos\frac{x}{3}\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ p) $\displaystyle\int \left(\sqrt[3]{x}+\cos 3x\right)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ q) $\displaystyle\int (x+e^{3x})\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ r) $\displaystyle\int (3+e^{-x})\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ s) $\displaystyle\int 5e^{7x}\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ t) $\displaystyle\int (1-\cos 4x)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ m) $\displaystyle\int \left(2+\textrm{sen}\frac{x}{3}\right)\ dx$.

4) Verifique que:
$\hspace{0.3cm}$ a) $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ dx=\textrm{arc}\textrm{sen}\ x+k$.
$\hspace{0.3cm}$ b) $\displaystyle\int \frac{1}{{1+x^2}}\ dx=\textrm{arc}\textrm{tg}\ x+k$.

5) Determine a função $y=y(x)$, $x\in\mathbb{R}$, tal que
$\hspace{0.3cm}$ a) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=3x-1$ e $y(0)=2$.

$\hspace{0.3cm}$ b) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=x^3-x+1$ e $y(1)=1$.

$\hspace{0.3cm}$ c) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\cos x$ e $y(0)=0$.

$\hspace{0.3cm}$ d) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\textrm{sen}\ 3x$ e $y(0)=1$.

$\hspace{0.3cm}$ e) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}x+3$ e $y(-1)=0$.

$\hspace{0.3cm}$ f) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=e^{-x}$ e $y(0)=1$.

6) Determine a função $y=y(x)$, $x>0$, tal que
$\hspace{0.3cm}$ a) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^2}$ e $y(1)=1$.

$\hspace{0.3cm}$ b) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=3+\frac{1}{x}$ e $y(1)=2$.

$\hspace{0.3cm}$ c) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=x+\frac{1}{\sqrt{x}}$ e $y(1)=0$.

$\hspace{0.3cm}$ d) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$ e $y(1)=1$.

7) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $x$ com velocidade $v(t)=t+3$, $t\geq0$. Sabe-se que, no instante $t=0$, a partícula encontra-se na posição $x=2$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Qual a posição da partícula no instante $t$?
$\hspace{0.3cm}$ b) Determine a posição da partícula no instante $t=2$.
$\hspace{0.3cm}$ c) Determine a aceleração.

8) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $x$ com velocidade $v(t)=2t-3$, $t\geq0$. Sabe-se que no instante $t=0$ a partícula encontra-se na posição $x=5$. Determine o instante em que a partícula estará mais próxima da origem.

9) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $x$ com velocidade $v(t)=at+v_0$, $t\geq0$ ($a$ e $v_0$ constantes). Sabe-se que no instante $t=0$ a partícula encontra-se na posição $x=x_0$. Determine a posição $x=x(t)$ da partícula no instante $t$.

10) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $x$ com função de posição $x=x(t)$, $t\geq0$. Determine $x=x(t)$, sabendo que
$\hspace{0.3cm}$ a) $\displaystyle\frac{dx}{dt}=2t+3$ e $x(0)=2$.

$\hspace{0.3cm}$ b) $v(t)=t^2-1$ e $x(0)=-1$.

$\hspace{0.3cm}$ c) $\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=3$, $v(0)=1$ e $x(0)=1$.

$\hspace{0.3cm}$ d) $\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=e^{-t}$, $v(0)=0$ e $x(0)=1$.

$\hspace{0.3cm}$ e) $\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=\cos 2t$, $v(0)=1$ e $x(0)=0$.

$\hspace{0.3cm}$ f) $\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=\textrm{sen}\ 3t$, $v(0)=1$ e $x(0)=0$.

$\hspace{0.3cm}$ g) $\displaystyle\frac{dx}{dt}=\frac{1}{1+t^2}$ e $x(0)=0$.

11) Esboce o gráfico da função $y=y(x)$, $x\in\mathbb{R}$, sabendo que
$\hspace{0.3cm}$ a) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=2x-1$ e $y(0)=0$.

$\hspace{0.3cm}$ b) $\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}=-4\cos 2x$, $y(0)=1$ e $y'(0)=0$.

$\hspace{0.3cm}$ c) $\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}=e^{-x}$, $y(0)=0$ e $y'(0)=-1$.

$\hspace{0.3cm}$ d) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}$ e $y(0)=0$.

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Guidorizzi Vol 3, Seção 6.5 - Integral de Linha relativa ao comprimento de arco

1) Calcule: $\displaystyle\int_\gamma \sqrt[3]{x}\ dx+\dfrac{dy}{1+y^2}$ onde $\gamma$ é a curva
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ \int_{\gamma}(x^2+y^2)\ ds$, onde $\gamma(t)=(t,t)$, $-1\leq t\leq 1$.

$\hspace{0.3cm}$ b)$\ \int_{\gamma}(2xy+y^2)\ ds$, onde $\gamma(t)=(t+1,t-1)$, $0\leq t\leq 1$.

$\hspace{0.3cm}$ c)$\ \int_{\gamma}xyz\ ds$, onde $\gamma(t)=(\cos t,\sin t,t)$, $0\leq t\leq 2\pi$.

2) Calcule a massa do fio $\gamma(t)=(t,2t,3t)$, $0\leq t\leq 1$, cuja densidade linear é $\delta(x,y,z)=x+y+z$.

3) Calcule a massa do fio $\gamma(t)=(\cos t,\sin t,t)$, $0\leq t\leq \pi$, com densidade linear $\delta(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$.

4) Calcule o momento de inércia de um fio homogêneo com a forma de uma circunferência de raio $R$ em torno de um diâmetro.

5) Calcule o momento de inércia do fio $\gamma(t)=(t,2t,3t)$, $0\leq t\leq 1$, cuja densidade linear é $\delta(x,y,z)=x+y+z$, em torno do eixo $Oz$.

6) Calcule o momento de inércia de um fio retilíneo, homogêneo, de comprimento $L$, em torno de um eixo perpendicular ao fio e passando por uma das extremidades do fio.

7) Calcule o momento de inércia do fio $\gamma(t)=(\cos t,\sin t,t)$, $0\leq t\leq \dfrac{\pi}{2}$ em torno do eixo $Ox$.

8) O \textbf{centro de massa} de um fio $\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}^3$ é o ponto $(x_C,y_C,z_C)$ dado por \[ x_C=\dfrac{\int_\gamma x\ dm}{\int_\gamma dm}, \ y_C=\dfrac{\int_\gamma y\ dm}{\int_\gamma dm}, \ z_C=\dfrac{\int_\gamma z\ dm}{\int_\gamma dm} \] onde $dm=\delta(x,y,z)ds$ é o elemento de massa. Calcule o centro de massa do fio homogêneo dado.
$\hspace{0.3cm}$ a)$\gamma(t)=(\cos t,\sin t,t)$, $0\leq t\leq \dfrac{\pi}{2}$.

$\hspace{0.3cm}$ b)$\gamma(t)=(t,t^2,0)$, $-1\leq t\leq 1$.

9) Calcule o centro de massa do fio homogêneo $\gamma(t)=(t,t,t)$, $0\leq t\leq 1$, com densidade linear é $\delta(x,y,z)=xyz$.

10) Seja $\gamma_1:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}^2$ uma curva de classe $C^1$ e seja $f(x,y)$ um campo escalar contínuo na imagem de $\gamma_1$. Seja $\gamma_2:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}^2$ dada por \begin{eqnarray} \gamma_2(t)= \gamma_1(a+b-t). \end{eqnarray} Prove que: \[ \int_{\gamma_1} f(x,y)\ ds=\int_{\gamma_2} f(x,y)\ ds. \] Interprete o resultado. Dê exemplos de curvas satisfazendo $(1)$.

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Guidorizzi Vol 3, Seção 6.4 - Integral de linha sobre uma curva de classe C¹ por partes

1) Calcule $\displaystyle\int_\gamma \sqrt[3]{x}\ dx+\dfrac{dy}{1+y^2}$ onde $\gamma$ é a curva

2) Calcule $\displaystyle\int \textbf{F}\cdot d\textbf{r}$, onde $\textbf{F}(x,y)=\textbf{j}$ e $\gamma$ é a curva do Exercício 1.

3) Calcule $\displaystyle\int_\gamma (x-y)dx+e^{x+y}\ dy$, onde $\gamma$ é a fronteira do triângulo de vértices $(0,0)$, $(0,1)$ e $(1,2)$, orientada no sentido anti-horário.

4) Calcule $\displaystyle\int_\gamma x\ dx+dy$, onde $\gamma$ é a poligonal de vértices $A_0=(0,0)$, $A_1=(1,2)$, $A_2=(-1,3)$, $A_3=(-2,1)$ e $A_4=(-1,-1)$, sendo $\gamma(t)$ orientada de $A_0$ para $A_4$.

5) Calcule $\displaystyle\int_\gamma y^2\ dx+x\ dy- dz$, onde $\gamma$ é a poligonal de vértices $A_0=(0,0,0)$, $A_1=(1,1,1)$ e $A_2=(1,1,0)$, sendo $\gamma(t)$ orientada de $A_0$ para $A_2$.

6) Calcule $\displaystyle\int_\gamma x^2\ dx+y^2\ dy+z^2\ dz$, onde $\gamma$ é a curva do Exercício 5.

7) Verifique que \[ \int_\gamma P\ dx+Q\ dy= \int\int_B \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dx\ dy \] onde $B$ é o triângulo de vértices $(0,0)$, $(1,0)$ e $(1,1)$; $\gamma$ é a fronteira de $B$ orientada no sentido anti-horário, $P(x,y)=x^2-y$ e $Q(x,y)=x^2+y$.

8) Seja $B$ é o triângulo de vértices $(0,0)$, $(1,0)$ e $(1,1)$; $\gamma$ é a fronteira de $B$ orientada no sentido anti-horário. Verifique que \[ \int_\gamma P\ dx+Q\ dy= \int\int_B \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dx\ dy \] onde $P$ e $Q$ são supostas de classe $C^1$ num aberto $\Omega$ contendo $B$.

9) Verifique a relação do exercício anterior supondo $B$ o quadrado de vértices $(-1,-1)$, $(1,-1)$, $(1,1)$ e $(-1,1)$, onde $\gamma$ é a fronteira de $B$ orientada no sentido anti-horário.

10) Sejam $f,g:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ duas funções de classe $C^1$ tais que , para todo $x$ em $\left[a,b\right]$, $f(x)\leq y \leq g(x)$, $a\leq x \leq b$. Seja $\gamma$ a fronteira de $B$ orientada no sentido anti-horário. Prove que \[ \int_\gamma P\ dx= \int\int_B \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dx\ dy \] onde $P$ é suposta de classe $C^1$ num aberto que contem $B$.

11) Sejam $B$ e $\gamma$ como no Exercício 10. Prove que \[ \textrm{área de}\ B=-\int_\gamma y\ dx. \].

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Guidorizzi Vol 3, Seção 6.3 - Mudança de parâmetro.

1) Seja $\textbf{F}$ um campo vetorial contínuo em $\mathbb{R}^2$. Justifique as igualdades.
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ \displaystyle\int_{\gamma_1}\textbf{F}\cdot d\gamma_1=\int_{\gamma_2}\textbf{F}\cdot d\gamma_2$, onde $\gamma_1(t)=(t,t^2)$ , $0\leq t\leq 1$, e $\gamma_2(u)=\left(\dfrac{u}{2},\dfrac{u^2}{4}\right)$ , $0\leq u\leq 2$.

$\hspace{0.3cm}$ b)$\ \displaystyle\int_{\gamma_1}\textbf{F}\cdot d\gamma_1=\int_{\gamma_2}\textbf{F}\cdot d\gamma_2$, onde $\gamma_1(t)=(\cos t,\sin t)$ , $0\leq t\leq 2\pi$, e $\gamma_2(u)=(\cos 2u,\sin 2u)$ , $0\leq u\leq \pi$.

$\hspace{0.3cm}$ c)$\ \displaystyle\int_{\gamma_1}\textbf{F}\cdot d\gamma_1=-\int_{\gamma_2}\textbf{F}\cdot d\gamma_2$, onde $\gamma_1(t)=(\cos t,\sin t)$ , $0\leq t\leq 2\pi$, e $\gamma_2(u)=(\cos(2\pi-u),\sin (2\pi-u))$ , $0\leq u\leq 2\pi$.

$\hspace{0.3cm}$ d)$\ \displaystyle\int_{\gamma_1}\textbf{F}\cdot d\gamma_1=-\int_{\gamma_2}\textbf{F}\cdot d\gamma_2$, onde $\gamma_1(t)=(t,t^3)$ , $-1\leq t\leq 1$, e

$\gamma_2(u)=(1-u,(1-u)^3))$ , $0\leq u\leq 2$.

2) Seja $\textbf{F}$ um campo vetorial contínuo em $\Omega$ e sejam $\gamma_1:\left[a,b\right]\rightarrow\Omega$ e $\gamma_2:\left[c,d\right]\rightarrow\Omega$ duas curvsa quaisquer de classe $C^1$, tais que $\Im\gamma_1=\Im\gamma_2$. A afirmação \[ \int_{\gamma_1}\textbf{F}\cdot d\gamma_1=\int_{\gamma_2}\textbf{F}\cdot d\gamma_2 \ \ \textrm{ou}\ \ \int_{\gamma_1}\textbf{F}\cdot d\gamma_1=-\int_{\gamma_2}\textbf{F}\cdot d\gamma_2 \] é verdadeira ou falsa? Justifique.

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Guidorizzi Vol 3, Seção 6.2 - Outra notação para a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva

1) Calcule $\displaystyle\int_\gamma x\ dx+y\ dy$ sendo $\gamma$ dada por $x=t^2$, $y=\sin t$, $0\leq t\leq\dfrac{\pi}{2}$.

2) Calcule $\displaystyle\int_\gamma x\ dx-y\ dy$, onde $\gamma$ é o segmento de extremidades $(1,1)$ e $(2,3)$, percorrido no sentido de $(1,1)$ para $(2,3)$.

3) Calcule $\displaystyle\int_\gamma x\ dx+y\ dy+z\ dz$, onde $\gamma$ é o segmento de extremidades $(0,0,0)$ e $(1,2,1)$, percorrido no sentido de $(1,2,1)$ para $(0,0,0)$.

4) Calcule $\displaystyle\int_\gamma x\ dx+dy+2z\ dz$, onde $\gamma$ é a interseção do paraboloide $z=x^2+y^2$ com o plano $z=2x+2y-1$. o sentido do percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de $\gamma(t)$, no plano $xy$, caminhe no sentido anti-horário.

5) Calcule $\displaystyle\int_\gamma dx+xy\ dy+z\ dz$, onde $\gamma$ é a interseção de $x^2+y^2+z^2=2$, $x\geq 0$, $y\geq 0$, $z\geq 0$, com o plano $y=x$; o sentido do percurso é do ponto $\left(0,0,\sqrt{2}\right)$ para $(1,1,0)$.

6) Calcule $\displaystyle\int_\gamma 2\ dx-dy$, onde $\gamma$ tem por imagem $x^2+y^2=4$, o sentido do percurso é de $(2,0)$ para $(0,2)$.

7) Calcule $\displaystyle\int_\gamma \dfrac{-y}{4x^2+y^2}dx+\dfrac{x}{4x^2+y^2}dy$, onde $\gamma$ tem por imagem a elipse $4x^2+y^2=9$, o sentido do percurso é o anti-horário.

8) Seja $\gamma(t)=(R\cos t, R\sin t)$,$0\leq t\leq 2\pi$ $(R>0)$. Mostre que \[ \displaystyle\int_\gamma \dfrac{-y}{x^2+y^2}dx+\dfrac{x}{x^2+y^2}dy\] não depende de $R$.

9) Calcule $\displaystyle\int_\gamma dx+y\ dy+z\ dz$, onde $\gamma$ é a interseção do plano $y=x$ com a superfície $z=x^2+y^2$, $z\leq 2$, sendo o sentido do percurso é do ponto $(-1,-1,2)$ para o ponto $(1,1,2)$.

10) Calcule $\displaystyle\int_\gamma dx+dy+dz$, onde $\gamma$ é a interseção entre as superfícies $y=x^2$ e $z=2-x^2-y^2$, $x\geq 0$, $y\geq 0$, $z\geq 0$, sendo o sentido do percurso é do ponto $(1,1,0)$ para o ponto $(0,0,2)$.

11) Calcule $\displaystyle\int_\gamma 2x\ dx+z\ dy+x\ dz$, onde $\gamma$ é a interseção das superfícies $x^2+4y^2=1$ e $x^2+z^2=1$, $y\geq 0$, $z\geq 0$, sendo o sentido do percurso é do ponto $(1,0,0)$ para o ponto $(-1,0,0)$.

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Guidorizzi Vol 3, Seção 6.1 - Integral de Linha

1) Calcule $\displaystyle\int_\gamma\textbf{F}\cdot d\textbf{r}$ sendo dados:
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ \textbf{F}(x,y,z)=x\textbf{i}+y\textbf{j}+z\textbf{k}$ e $\gamma(t)=(\cos t,\sin t, t), 0\leq t\leq 2\pi$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ \textbf{F}(x,y,z)=(x+y+z)\textbf{k}$ e $\gamma(t)=(t,t,1-t^2), 0\leq t\leq 1$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ \textbf{F}(x,y)=x^2\textbf{j}$ e $\gamma(t)=(t^2,3), -1\leq t\leq 1$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ \textbf{F}(x,y)=x^2\textbf{i}+(x-y)\textbf{j}$ e $\gamma(t)=(t,\sin t), 0\leq t\leq \pi$.
$\hspace{0.3cm}$ e)$\ \textbf{F}(x,y,z)=x^2\textbf{i}+y^2\textbf{j}+z^2\textbf{k}$ e $\gamma(t)=(2\cos t,3\sin t, t), 0\leq t\leq 2\pi$.

2) Seja $\textbf{F}:\mathbb{R}^2\leftarrow\mathbb{R}^2$ um campo vetorial contínuo tal que, para todo $(x,y)$, $\textbf{F}(x,y)$ é paralelo ao vetor $x\textbf{i}+y\textbf{j}$. Calcule $\displaystyle\int_\gamma\textbf{F}\cdot d\textbf{r}$, onde $\gamma:\left[a,b\right]\leftarrow\mathbb{R}^2$ é uma curva de classe $C^1$, cuja imagem está contida na circunferência de centro na origem e raio $r>0$. Interprete geometricamente.

3) Uma partícula move-se no plano de modo que no instante $t$ sua posição é dada por $\gamma(t)=(t,t^2)$. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças $\textbf{F}(x,y)=(x+y)\textbf{i}+(x-y)\textbf{j}$ no deslocamento da partícula de $\gamma(0)$ até $\gamma(1)$.

4) Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por $\textbf{F}(x,y,z)=-y\textbf{i}+x\textbf{j}+z\textbf{k}$. Calcule o trabalho realizado por $\textbf{F}$ no deslocamento da partícula de $\gamma(a)$ até $\gamma(b)$, sendo dados:
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ \gamma(t)=(\cos t,\sin t, t)$, $a=0$ e $b=2\pi$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ \gamma(t)=(2t+1,t-1,t)$, $a=1$ e $b=2$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ \gamma(t)=(\cos t,0,\sin t)$, $a=0$ e $b=2\pi$.

5) Calcule $\displaystyle\int_\gamma\textbf{E}\cdot d\textbf{l}$, onde $E(x,y)=\dfrac{1}{x^2+y^2}\dfrac{x\textbf{i}+y\textbf{j}}{\sqrt{x^2+y^2}}$ e $\gamma(t)=(t,1)$, $-1\leq t\leq 1$. (O $\textbf{l}$ desempenha aqui o mesmo papel que o $\textbf{r}$: $\textbf{l}(t)=\gamma(t)$).

6)Seja $\textbf{E}$ o campo do exercício anterior e seja $\gamma$ acurva dada por $x=t$ e $y=1-t^4$,$-1\leq t\leq 1$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Que valor é razoável esperar para $\displaystyle\int_\gamma\textbf{E}\cdot d\textbf{l}$? Por quê?
$\hspace{0.3cm}$ b) Calcule $\displaystyle\int_\gamma\textbf{E}\cdot d\textbf{l}$.

7) Calcule $\displaystyle\int_\gamma\textbf{E}\cdot d\textbf{l}$, onde $\textbf{E}$ é o campo dado no Exercício 5 e $\gamma$ a curva dada por $x=2\cos t$, $y=\sin t$, com $0\leq t \leq \dfrac{\pi}{2}$.

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Guidorizzi Vol 1 Seção 7.12 - Derivação da Função f(x)^{g(x)}

1) Calcule a derivada.
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ f(x)=5^x-\textrm{log}_3 x$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ y=2^{x^2}+3^{2x}$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ g(x)=3^{2x+1}+\textrm{log}_2(x^2+1)$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ y=(2x+1)^x$.
$\hspace{0.3cm}$ e)$\ f(x)=x^{\textrm{sen}3x}$.
$\hspace{0.3cm}$ f)$\ g(x)=(3+\cos x)^x$.
$\hspace{0.3cm}$ g)$\ y=x^x \textrm{sen} \ x$.
$\hspace{0.3cm}$ h)$\ y=x^{x^2+1}$.
$\hspace{0.3cm}$ i)$\ y=(1+i)^{-t}$, $i$ constante.
$\hspace{0.3cm}$ j)$\ y=10^{x}-10^{-x}$.
$\hspace{0.3cm}$ l)$\ y=(2+\textrm{sen} \ x)^{\cos \ 3x}$.
$\hspace{0.3cm}$ m)$\ y=\ln (1+\frac{1}{x})$.
$\hspace{0.3cm}$ n)$\ y=(1+1^x)^x$.
$\hspace{0.3cm}$ o)$\ y=x^{x^x}$.
$\hspace{0.3cm}$ p)$\ y=x^{\pi}+\pi^x$.
$\hspace{0.3cm}$ q)$\ y=(1+x)^{e^{-x}}$.

2) Sejam $f$ e $g$ deriváveis em $A$, com $f(x)>0$ em $A$. Verifique que, para todo $x \in A$, \[ [f(x)^{g(x)}]'=f(x)^{g(x)}g'(x) \ln \ f(x)+g(x)f(x)^{g(x)-1}f'(x) \] Observe: ́A primeira parcela é a derivada de $f(x)^{g(x)}$, supondo $f$ constante e a segunda é a derivada de $f(x)^{g(x)}$, supondo $g$ constante.

3) Utilizando o resultado obtido no Exercício 2, calcule a derivada.
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ y=(x+2)^x$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ y=(1+e^x)^{x^2}$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ y=(4+\textrm{sen}\ 3x)^x$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ y=(x+3)^{x^2}$.
$\hspace{0.3cm}$ e)$\ y=(3+\pi)^{x^2}$.
$\hspace{0.3cm}$ f)$\ y=(x^2+1)^{\pi}$.

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Guidorizzi Vol 1 Seção 7.13 - Derivação da Função Dada Implicitamente

1) Suponha que $y=f(x)$ seja uma função derivável e dada implicitamente pela equação.
\[ xy^2+y+x=1. \]
Mostre que $f'(x)=\dfrac{-1-[f(x)]^2}{2xf(x)+1}$ em todo $x \in D_f$, com $2xf(x)+1 \neq 0$.

2) Determine uma função $y=f(x)$ que seja dada implicitamente pela equação $xy^2+y+x=1$.

3) A função $y=f(x)$ é dada implicitamente pela equação $xy+3=2x$. Mostre que $x \dfrac{dx}{dy}=2-y$. Calcule $\frac{dx}{dy}\big|_{x=2}$

4) Expresse $\dfrac{dx}{dy}$ em termos de $x$ e de $y$, em que $y=f(x)$ é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ x^2-y^2=4$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ y^3+x^2y=x+4$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ xy^2+2y=3$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ y^5+y=x$.
$\hspace{0.3cm}$ e)$\ x^2+4y^2=3$.
$\hspace{0.3cm}$ f)$\ xy+y^3=x$.
$\hspace{0.3cm}$ g)$\ x^2+y^2+2y=0$.
$\hspace{0.3cm}$ h)$\ x^2y^3+xy=2$.
$\hspace{0.3cm}$ i)$\ xe^y+xy=3$.
$\hspace{0.3cm}$ j)$\ y+\ln (x^2+y^2)=4$.
$\hspace{0.3cm}$ l)$\ 5y+ \cos y=xy$.
$\hspace{0.3cm}$ m)$\ 2y+ \textrm{sen} \ y=x$.

5) A função $y=f(x)$, $y>0$, é dada implicitamente por $x^2+4y^2=2$. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f$, no ponto de abscissa 1.

6) Determine a equação da reta tangente à elipse $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, no ponto $(x_0,y_0)$, $y \neq 0$.

7) Verifique que $y_0x+x_0y=2$ é a equação da reta tangente à curva $xy=1$ no ponto $(x_0,y_0), \ x_0>0$. Conclua que $(x_0,y_0)$ é o ponto médio do segmento $AB$, em que $A$ e $B$ são as interseções da reta tangente, em $(x_0,y_0)$, com os eixos coordenados.

8) Suponha que $y=f(x)$ seja uma função derivável dada implicitamente pela equação $y^3+2xy^2+x=4$. Suponha, ainda, que $1 \in D_f$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Calcule $f(1)$.
$\hspace{0.3cm}$ b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f$, no ponto de abscissa 1.

9) A reta tangente à curva $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1$, no ponto $(x_0,y_0)$, $x_0>0$ e $y_0>0$, intercepta os eixos $x$ e $y$ nos pontos $A$ e $B$, respectivamente. Mostre que a distância de $A$ e $B$ não depende de $(x_0,y_0)$.

10) A reta tangente à curva $xy-x^2=1$ no ponto $(x_0,y_0)$, $x_0>0$, intercepta o eixo $y$ no ponto $B$. Mostre que a área do triângulo de vértices $(0,0)$, $(x_0,y_0)$, e $B$ não depende de $(x_0,y_0)$, $x_0>0$.

11) A função $y=f(x)$ é dada implicitamente pela equação $3y^2+2xy-x^2=3$. Sabe-se que, para todo $x \in D_f$, $f(x)>0$ e que $f$ admite uma reta tangente $T$ paralela à reta $5y-x=2$. Determine $T$.

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Guidorizzi Vol 1 Seção 12.5 - Primitiva de Funções Racionais do Tipo $$\int \dfrac{P(x)}{(x-\alpha)(x-\beta)}dx$$

Calcule:

1) $$\int \dfrac{1}{x^2-4}dx$$
2) $$\int \dfrac{x}{x^2-5x+6}dx$$
3) $$\int \dfrac{x}{x^2-4}dx$$
4) $$\int \dfrac{2x+1}{x^2-1}dx$$
5) $$\int \dfrac{5x^2+1}{x-1}dx$$
7) $$\int \dfrac{x^2+3x+1}{x^2-2x-3}dx$$
8) $$\int \dfrac{x^2+1}{(x-2)^3}dx$$
9) $$\int \dfrac{x+3}{x^2-x}dx$$
10) $$\int \dfrac{x^2+x+1}{x^2-x}dx$$
11) $$\int \dfrac{x^3+x+1}{x^2-2x+1}dx$$
12) $$\int \dfrac{x^3+x+1}{x^2-4x+3}dx$$
13) $$\int \dfrac{1}{x^2+5}dx$$
14) $$\int \dfrac{x+1}{x^2+9}dx$$
15) $$\int \dfrac{x^2+3}{x^2-9}dx$$
16) $$\int \dfrac{1}{x^2-x-2}dx$$
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Guidorizzi Vol 4 Seção 10.5 (Equações de Bernoulli)

1) Resolva as equações de Bernoulli.
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ \dfrac{dy}{dx}=5y-\dfrac{4x}{y}$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ v\dfrac{dv}{dx}=v^2-e^{2x}v^3$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{x}{t}-\sqrt{x}, \ t\geq 0$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ y'=y-y^3$.

2) Há um modelo para variação populacional em que se supõe que a taxa de variação da população no instante $t$ seja proporcional à população neste instante, com coeficiente de proporcionalidade $\lambda=\alpha-\beta$, sendo $\alpha$ o coeficiente de natalidade e $\beta$ o de mortalidade. Desse modo, a variação da população $p=p(t)$ é regida pela equação linear $\dfrac{dy}{dt}=\lambda p$. Suponha que a população no instante $t=0$ seja $p_0$.
$\hspace{0.3cm}$ a) O que acontece com a população se $\alpha=\beta$?.
$\hspace{0.3cm}$ b) Sendo $\alpha\neq\beta$?, determine a população no instante $t$. O que acontecerá com a população
$\hspace{0.7cm}$ se $\alpha>\beta$? E se $\alpha<\beta$?

3) Considerando fatores inibidores para a variação da população, foi proposta uma modificação para o modelo do exercício anterior, onde se supõe então um nível máximo $\gamma= \lim_{t\to \infty}p(t)$ que a população possa atingir e que há um fator inibidor proporcional ao quadrado da população e com coeficiente $\epsilon=\dfrac{\lambda}{\gamma}$. Então, neste modelo, a variação da população é regida pela equação de Bernoulli $\dfrac{dp}{dt}=\lambda p-\epsilon p^2$, onde se supõe $\lambda>0$. Suponha que a população no instante $t=0$ seja $p_0$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Resolva a equação.
$\hspace{0.3cm}$ b) Supondo $p_0<\gamma$, para que valor de $p$ a taxa de variação $\dfrac{dp}{dt}$ é máxima? Qual o valor
$\hspace{0.7cm}$ máximo para esta taxa de variação?.
$\hspace{0.3cm}$ c) Em que instante $t$ o valor da taxa de variação é máximo?

4) Um outro modelo para a variação populacional e dado, também, por uma equação de Bernoulli é $\dfrac{dp}{dt}=\lambda p-\epsilon p^{\alpha}, \alpha>1$ e $\epsilon=\dfrac{\lambda}{\gamma^{\alpha-1}}$, onde se supõe que $\gamma= \lim_{t\to \infty}p(t)$ é o valor máximo para a população. Supondo $p(0)=p_0$, resolva a equação.

5) (Equação de von Bertalanffy) A equação de Bernoulli $\dfrac{dp}{dt}=\alpha p^{2/3}-\beta p$ é um modelo usado para a variação do peso $p=p(t)$ de uma espécie de peixe, onde $\alpha$ e $\beta$ são constantes positivas e que dependem da espécie em estudo. Suponha $p(0)=0$. (O peixe ao nascer é tão pequeno que o seu peso é quase zero.) Resolva a equação. Esboce o gráfico da solução destacando o intervalo onde o peso está variando a taxa crescente e aquele em que o peso está variando a taxa decrescente. Interprete os resultados.

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Guidorizzi Vol 1 Seção 11.6 (Cálculo de áreas)

Nos Exercícios de 1 a 22, desenhe o conjunto A dado e calcule a área.
1) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=1$, $x=3$, pelo eixo $Ox$ e pelo gráfico de $y=x^3$. $\\$
2) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=1$, $x=4$, $y=0$ e pelo gráfico de $y=\sqrt{x}$. 3) A é o conjunto de todos os $(x,y)$ tais que $x^2-1 \leq y \leq 0$.
4) A é o conjunto de todos os $(x,y)$ tais que $0 \leq y \leq 4-x^2$.
5) A é o conjunto de todos os $(x,y)$ tais que $0 \leq y \leq |sen \ x|$, com $0 \leq x \leq 2\pi$.
6) A é a região do plano compreendida entre o eixo $0x$ e o gráfico de $y=x^2-x$, com $0 \leq x \leq 2$.
7) A é o conjunto do plano limitado pela reta $y=0$ e pelo gráfico de $y=3-2x-x^2$, com $-1\leq x \leq 2$.
8) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=-1$, $x=2$, $y=0$ e pelo gráfico de $y=x^2+2x+5$.
9) A é o conjunto do plano limitado pelo eixo $0x$, pelo gráfico de $y=x^3-x$, $-1 \leq x \leq 2$.
10) A é o conjunto do plano limitado pela reta $y=0$ e pelo gráfico de $y=x^3-x$, com $0 \leq x \leq 2$.
11) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=0$, $x=\pi$, $y=0$ e pelo gráfico de $y=\cos x$.
12) A é o conjunto de todos $(x,y)$ tais que $x=0$ e $x^3 \leq y \leq x$.
13) A é o conjunto do plano limitado pela reta $y=x$, pelo gráfico de $y=x^3$, com $-1 \leq x \leq 1$.
14) $A=\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leq x \leq 1 \ e \ \sqrt{x} \leq y \leq 3\}$.
15) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=0$, $x=\dfrac{\pi}{2}$ e pelos gráficos de $y= \textrm{sen} x$ e $y=\cos x$.
16) A é o conjunto de todos os pontos $(x, y)$ tais que $x^2+1 \leq y \leq x+1$.
17) A é o conjunto de todos os pontos $(x, y)$ tais que $x^2-1 \leq y \leq x+1$.
18) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=0$, $x=\dfrac{\pi}{2}$ e pelos gráficos de $y=\cos x$ e $y=1-\cos x$.
19) $A=\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x \geq 0 \ e \ x^3-x \leq y \leq -x^2+5x\}$.
20) A é o conjunto limitado pelos gráficos de $y=x^3-x$, $y= \textrm{sen}\pi x$, com $-1\leq x \leq 1$.
21) A é o conjunto de todos os pontos $(x, y)$ tais que $x\geq 0$ e $-x \leq y \leq x-x^2$.
22) A é o conjunto de todos $(x, y)$ tais que $x>0$ e $\dfrac{1}{x^2}\leq y \leq 5-4x^2$.
23) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $x$ com velocidade $v(t)=2t-3$, $t\geq 0$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Calcule o deslocamento entre os instantes $t=1$ e $t=3$.
$\hspace{0.3cm}$ b) Qual o espaço percorrido entre os instantes $t=1$ e $t=3$?.
$\hspace{0.3cm}$ c) Descreva o movimento realizado pela partícula entre os instantes $t=1$ e $t=3$?.
24) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $0x$ com velocidade $v(t)=\textrm{sen}\ 2t$, $t\geq 0$. Calcule o espaço percorrido entre os instantes $t=0$ e $t=\pi$.
25) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $0x$ com velocidade $v(t)=-t^2+t$, $t\geq 0$. Calcule o espaço percorrido entre os instantes $t=0$ e $t=2$?.
26) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $0x$ com velocidade $v(t)=t^2-2t-3$, $t\geq 0$. Calcule o espaço percorrido entre os instantes $t=0$ e $t=4$?.

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