Álgebra Linear e aplicações (Callioli) - Núcleo, Imagem, Isomorfismos e Automorfismos

1) Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar uma base a dimensão do núcleo e da imagem:
$\hspace{0.3cm}$ a) $\ F:\mathbb{R^3} \rightarrow\mathbb{R}$ tal que $F(x,y,z)=x+y-z$.
$\hspace{0.3cm}$ b) $\ F:\mathbb{R^2} \rightarrow\mathbb{R^2}$ tal que $F(x,y)=(2x,x+y)$.
$\hspace{0.3cm}$ c) $\ F:\mathbb{R^3} \rightarrow\mathbb{R^4}$ tal que $F(x,y,z)=(x-y-z,x+y+z,2x-y+z,-y)$.
$\hspace{0.3cm}$ d) $\ F:P_2(\mathbb{R}) \rightarrow P_2(\mathbb{R})$ tal que $F(f(t))=t^2f''(t)$.
$\hspace{0.3cm}$ e) $\ F:M_2(\mathbb{R}) \rightarrow M_2(\mathbb{R})$ dada por $F(X)=MX+X$, onde $$M= \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$$ $\hspace{0.3cm}$ f) $\ F:M_2(\mathbb{R}) \rightarrow M_2(\mathbb{R})$ dada por $F(X)=MX-XM$, onde $$M= \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$ 2) Determinar um operador linear $\ F:\mathbb{R^3} \rightarrow\mathbb{R^3}$ cuja imagem é gerada $(2,1,1)$ e $(1,-1,2)$.

3) Determinar um operador linear do $\mathbb{R^4}$ cujo núcleo é gerado $(1,1,0,0)$ e $(0,0,1,0)$.

4) Determinar um operador linear do $\mathbb{R^3}$ cujo núcleo tenha dimensão 1.

5) Seja $F:\mathbb{R^3} \rightarrow\mathbb{R^3}$ tal que $F(1,0,0)=(1,1,0)$, $F(0,0,1)=(0,0,2)$ e $F(0,1,0)=(1,1,2)$. Determinar uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais: $\ker F$, $\Im F$, $\ker F \cap \textrm{Im} F$ e $\ker F + \textrm{Im}F$.

6) Mostrar que cada um dos operadores lineares do $\mathbb{R^3}$ a seguir e determinar o homomorfismo inverso em cada caso:
$\hspace{0.3cm}$ a) $\ F(x,y,z)=(x-3y-2z, y-4z, z)$.
$\hspace{0.3cm}$ b) $\ F(x,y,z)=(x, x-y, 2x+y-z)$.

7) Considere o operador linear do $\mathbb{R^3}$ definido por $F(1,0,0)=(1,1,1)$, $F(0,1,0)=(1,0,1)$ e $F(0,1,2)=(0,0,4)$. $F$ é inversível? Se for, determine o isomorfismo inverso.

8) Sejam $u,v \in\mathbb{R}^2$ tais que $\{u,v\}$ é uma base de $\mathbb{R}^2$. Seja $F:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^n$ uma transformação linear, mostrar que uma das seguintes alternativas se verifica:
$\hspace{0.3cm}$ a) $\{F(u),F(v)\}$ é LI.
$\hspace{0.3cm}$ b) $\dim \textrm{Im}=1$.
$\hspace{0.3cm}$ c) $\textrm{Im} F = \{0\}$.

9) Sejam $U$ e $V$ subespaços do espaço vetorial $W$ tais que $W=U\oplus V$. Consideremos o espaço vetorial $U\times V$ cuja adição é $(u_1,v_1)+(u_2,v_2)=(u_1+u_2,v_1+v_2)$ e cuja multiplicação por escalares é dada por $\alpha(u,v)=(\alpha u,\alpha v)$. Mostrar que é um isomorfismo de $U\times V$ em $W$ a aplicação assim definida: $F(u,v)=u+v$.

10) Seja $\{e_1,\dots,e_n\}$ a base canônica do $\mathbb{R^n}$. Seja $F:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ o operador linear dado por $F(e_1)=e_2, F(e_2)=e_3, \dots F(e_n)=e_1$. Determinar $F(x_1,\dots,x_n)$ e verificar se $F$ é um automorfismo. Se for, ache o automorfismo inverso.

11) Considere uma transformação linear $T:U\rightarrow V$. Provar que se o conjunto $\{T(u_1),\dots,T(u_r)\}$ é LI em $V$, então $\{u_1,\dots,u_r\}$ é LI em $U$. Provar que, se $T$ é injetora e $\{u_1,\dots,u_r\}$ é LI em $U$, então $\{T(u_1),\dots,T(u_r)\}$ é LI em $V$.

12) Consideremos o espaço vetorial $F:\mathbb{R}^\infty=\{(a_1,a_2,...)|a_i\in \mathbb{R}\}$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Mostrar que a transformação linear $\ T:\mathbb{R}^\infty \rightarrow\mathbb{R}^\infty$ tal que $T(a_1,a_2,...)=(0,a_1,a_2,...)$ é injetora mas não é sobrejetora.
$\hspace{0.3cm}$ b) Mostrar que a transformação linear $\ F:\mathbb{R}^\infty \rightarrow\mathbb{R}^\infty$ tal que $F(a_1,a_2,...)=(a_2,a_3,...)$ é sobrejetora mas não é injetora.
$\hspace{0.3cm}$ c) Encontrar uma aplicação linear injetora de $P(\mathbb{R})$ em $\mathbb{R}^\infty$.

13) Consideremos uma transformação linear $T:U\rightarrow V$. Se $\dim U > \dim V$, prove que existe um vetor não nulo $u_0 \in U$ tal que $F(u_0)=0$ (vetor nulo de $V$). (Ou seja, $F$ não é injetora).

14) Seja $W=U\oplus V$. Consideremos os operadores lineares de $W$ (projeções sobre $U$ e $V$, respectivamente) dados por $P_1(u+v)=u$ e $P_2(u+v)=v, \forall u+v \in W$. Definido $H:W \rightarrow W$, por $H(w)=P_1(w)-P_2(w),\forall w \in W$. Mostre que $H$ úm isomorfismo so espaço vetorial $W$ nele mesmo, isto é, $H$ é um automorfismo de $W$.

Tome $W=\mathbb{R}^2$, $U=[(1,1)]$, $V=[(1,-1)]$ e represente geometricamente $U$, $V$, $W$, $P_1$, $P_2$ e $H$.

15) Provar que $\mathbb{R}^2$ é isomorfo a qualquer subespaço de dimensão 2 do $\mathbb{R}^3$.

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