Carlos Callioli - Transformações Lineares

1) Quais das seguintes aplicações de $\mathbb{R}^3$ em $\mathbb{R}^3$ são operadores lineares?
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ F_1(x,y,z)=(x-y,x+y,0)$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ F_2(x,y,z)=(2x-y+z,0,0)$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ F_3(x,y,z)=(x,x,x)$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ F_4(x,y,z)=(2x^2+3y,x,z)$.

2) Seja $F:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ um operador linear assim definido na base canônica: $F(1,0,0)=(2,3,1), \ F(0,1,0)=(5,2,7)$ e $F(0,0,1)=(-2,0,7)$. Determinar $F(x,y,z)$, onde $(x,y,z)$ é um vetor genérico do $\mathbb{R}^3$ e mostrar que $F$ é um operador linear.

3) Consideremos o espaço vetorial $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{C}$ e seja $F:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ tal que $F(z)=\bar{z}$, $\forall z \in \mathbb{C}$. Mostre que $F$ é um operador linear. Se tivéssemos considerado o espaço vetorial $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{C}$, seria ainda $F$ um operador linear?

4) Verifique se são operadores lineares no espaço $P_n(\mathbb{R})$:
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ F:P_n(\mathbb{R}) \rightarrow P_n(\mathbb{R})$ tal que $F(f(t))=tf'(t)$ , $\forall f(t) \in P_n(\mathbb{R})$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ F:P_n(\mathbb{R}) \rightarrow P_n(\mathbb{R})$ tal que $F(f(t))=f'(t)+t^2f''(t)$ , $\forall f(t) \in P_n(\mathbb{R})$.

5) Existe um operador linear $F:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ tal que $F(1,1,1)=(1,2,3), \ F(1,2,3)=(1,4,9)$ e $F(2,3,4)=(1,8,27)$? Justifique a sua resposta.

6) Seja $u=(x,y,z,t)$ é um vetor genérico do $\mathbb{R}^4$. Quais das aplicações definidas abaixo são operadores lineares do $\mathbb{R}^4$?
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ F(u)=u+(1,0,1,0)$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ F(u)=(1,0,1,1)$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ F(u)=(x,y-z,y+z,x+t)$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ F(u)=(\cos x,y,z,t)$.

7) Sejan $U$ e $V$ subespaços de $W$ tais que $W=U \oplus V$. Sejam $P_1$ e $P_2$ aplicações de $W$ em $W$ tais que para todo $w=u+v$ de $W$ (com $u\in U$ e $v\in V$) associam, respectivamente, $u$ e $v$, ou seja, $P_1(w)=u$ e $P_2(w)=v$. Mostrar que $P_1$ e $P_2$ são lineares.

8) Seja $F$ um operador linear em $\mathbb{R}^2$ tal que $F(1,0)=(2,1)$ e $F(0,1)=(1,4)$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Determinar $F(2,4)$;
$\hspace{0.3cm}$ b) Determinar $(x,y)$ em $\mathbb{R}^2$ tal que $F(x,y)=(2,3)$.
$\hspace{0.3cm}$ c) Prove que $F$ é injetor e sobrejetor (bijetor).

9) Seja $A$ uma matriz fixa de $M_n(\mathbb{R})$. Mostrar que $F:M_n(\mathbb{R}) \rightarrow M_n(\mathbb{R})$ dada por $F(X)=XA-AX$, $\forall x \in M_n(\mathbb{R})$, é linear. Se $A=\lambda I_n$, com $\lambda \in \mathbb{R}$, o que é $F$?

10) Seja $F:U \rightarrow V$ uma transformação linear com a seguinte propriedade: se $\{u_1, \dots, u_n\}$ é uma base de $U$, então $\{F(u_1), \dots, F(u_n)\}$ é linearmente dependente em $V$. Provar que $F$ é injetora.

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