1) Quais das seguintes aplicações de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^3 são operadores lineares?
\hspace{0.3cm} a)\ F_1(x,y,z)=(x-y,x+y,0).
\hspace{0.3cm} b)\ F_2(x,y,z)=(2x-y+z,0,0).
\hspace{0.3cm} c)\ F_3(x,y,z)=(x,x,x).
\hspace{0.3cm} d)\ F_4(x,y,z)=(2x^2+3y,x,z).
2) Seja F:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 um operador linear assim definido na base canônica: F(1,0,0)=(2,3,1), \ F(0,1,0)=(5,2,7) e F(0,0,1)=(-2,0,7). Determinar F(x,y,z), onde (x,y,z) é um vetor genérico do \mathbb{R}^3 e mostrar que F é um operador linear.
3) Consideremos o espaço vetorial \mathbb{R} sobre \mathbb{C} e seja F:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} tal que F(z)=\bar{z}, \forall z \in \mathbb{C}. Mostre que F é um operador linear. Se tivéssemos considerado o espaço vetorial \mathbb{C} sobre \mathbb{C}, seria ainda F um operador linear?
4) Verifique se são operadores lineares no espaço P_n(\mathbb{R}):
\hspace{0.3cm} a)\ F:P_n(\mathbb{R}) \rightarrow P_n(\mathbb{R}) tal que F(f(t))=tf'(t) , \forall f(t) \in P_n(\mathbb{R}).
\hspace{0.3cm} b)\ F:P_n(\mathbb{R}) \rightarrow P_n(\mathbb{R}) tal que F(f(t))=f'(t)+t^2f''(t) , \forall f(t) \in P_n(\mathbb{R}).
5) Existe um operador linear F:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 tal que F(1,1,1)=(1,2,3), \ F(1,2,3)=(1,4,9) e F(2,3,4)=(1,8,27)? Justifique a sua resposta.
6) Seja u=(x,y,z,t) é um vetor genérico do \mathbb{R}^4. Quais das aplicações definidas abaixo são operadores lineares do \mathbb{R}^4?
\hspace{0.3cm} a)\ F(u)=u+(1,0,1,0).
\hspace{0.3cm} b)\ F(u)=(1,0,1,1).
\hspace{0.3cm} c)\ F(u)=(x,y-z,y+z,x+t).
\hspace{0.3cm} d)\ F(u)=(\cos x,y,z,t).
7) Sejan U e V subespaços de W tais que W=U \oplus V. Sejam P_1 e P_2 aplicações de W em W tais que para todo w=u+v de W (com u\in U e v\in V) associam, respectivamente, u e v, ou seja, P_1(w)=u e P_2(w)=v. Mostrar que P_1 e P_2 são lineares.
8) Seja F um operador linear em \mathbb{R}^2 tal que F(1,0)=(2,1) e F(0,1)=(1,4).
\hspace{0.3cm} a) Determinar F(2,4);
\hspace{0.3cm} b) Determinar (x,y) em \mathbb{R}^2 tal que F(x,y)=(2,3).
\hspace{0.3cm} c) Prove que F é injetor e sobrejetor (bijetor).
9) Seja A uma matriz fixa de M_n(\mathbb{R}). Mostrar que F:M_n(\mathbb{R}) \rightarrow M_n(\mathbb{R}) dada por F(X)=XA-AX, \forall x \in M_n(\mathbb{R}), é linear. Se A=\lambda I_n, com \lambda \in \mathbb{R}, o que é F?
10) Seja F:U \rightarrow V uma transformação linear com a seguinte propriedade: se \{u_1, \dots, u_n\} é uma base de U, então \{F(u_1), \dots, F(u_n)\} é linearmente dependente em V. Provar que F é injetora.
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