Guidorizzi Vol 1 Seção 7.13 - Derivação da Função Dada Implicitamente

1) Suponha que $y=f(x)$ seja uma função derivável e dada implicitamente pela equação.
$$xy^2+y+x=1.$$
Mostre que $f'(x)=\dfrac{-1-[f(x)]^2}{2xf(x)+1}$ em todo $x \in D_f$, com $2xf(x)+1 \neq 0$.

2) Determine uma função $y=f(x)$ que seja dada implicitamente pela equação $xy^2+y+x=1$.

3) A função $y=f(x)$ é dada implicitamente pela equação $xy+3=2x$. Mostre que $x \dfrac{dx}{dy}=2-y$. Calcule $\frac{dx}{dy}\big|_{x=2}$

4) Expresse $\dfrac{dx}{dy}$ em termos de $x$ e de $y$, em que $y=f(x)$ é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ x^2-y^2=4$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ y^3+x^2y=x+4$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ xy^2+2y=3$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ y^5+y=x$.
$\hspace{0.3cm}$ e)$\ x^2+4y^2=3$.
$\hspace{0.3cm}$ f)$\ xy+y^3=x$.
$\hspace{0.3cm}$ g)$\ x^2+y^2+2y=0$.
$\hspace{0.3cm}$ h)$\ x^2y^3+xy=2$.
$\hspace{0.3cm}$ i)$\ xe^y+xy=3$.
$\hspace{0.3cm}$ j)$\ y+\ln (x^2+y^2)=4$.
$\hspace{0.3cm}$ l)$\ 5y+ \cos y=xy$.
$\hspace{0.3cm}$ m)$\ 2y+ \textrm{sen} \ y=x$.

5) A função $y=f(x)$, $y>0$, é dada implicitamente por $x^2+4y^2=2$. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f$, no ponto de abscissa 1.

6) Determine a equação da reta tangente à elipse $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, no ponto $(x_0,y_0)$, $y \neq 0$.

7) Verifique que $y_0x+x_0y=2$ é a equação da reta tangente à curva $xy=1$ no ponto $(x_0,y_0), \ x_0>0$. Conclua que $(x_0,y_0)$ é o ponto médio do segmento $AB$, em que $A$ e $B$ são as interseções da reta tangente, em $(x_0,y_0)$, com os eixos coordenados.

8) Suponha que $y=f(x)$ seja uma função derivável dada implicitamente pela equação $y^3+2xy^2+x=4$. Suponha, ainda, que $1 \in D_f$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Calcule $f(1)$.
$\hspace{0.3cm}$ b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f$, no ponto de abscissa 1.

9) A reta tangente à curva $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1$, no ponto $(x_0,y_0)$, $x_0>0$ e $y_0>0$, intercepta os eixos $x$ e $y$ nos pontos $A$ e $B$, respectivamente. Mostre que a distância de $A$ e $B$ não depende de $(x_0,y_0)$.

10) A reta tangente à curva $xy-x^2=1$ no ponto $(x_0,y_0)$, $x_0>0$, intercepta o eixo $y$ no ponto $B$. Mostre que a área do triângulo de vértices $(0,0)$, $(x_0,y_0)$, e $B$ não depende de $(x_0,y_0)$, $x_0>0$.

11) A função $y=f(x)$ é dada implicitamente pela equação $3y^2+2xy-x^2=3$. Sabe-se que, para todo $x \in D_f$, $f(x)>0$ e que $f$ admite uma reta tangente $T$ paralela à reta $5y-x=2$. Determine $T$.

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