Guidorizzi Vol 1 Seção 7.12 - Derivação da Função f(x)^{g(x)}

1) Calcule a derivada.
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ f(x)=5^x-\textrm{log}_3 x$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ y=2^{x^2}+3^{2x}$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ g(x)=3^{2x+1}+\textrm{log}_2(x^2+1)$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ y=(2x+1)^x$.
$\hspace{0.3cm}$ e)$\ f(x)=x^{\textrm{sen}3x}$.
$\hspace{0.3cm}$ f)$\ g(x)=(3+\cos x)^x$.
$\hspace{0.3cm}$ g)$\ y=x^x \textrm{sen} \ x$.
$\hspace{0.3cm}$ h)$\ y=x^{x^2+1}$.
$\hspace{0.3cm}$ i)$\ y=(1+i)^{-t}$, $i$ constante.
$\hspace{0.3cm}$ j)$\ y=10^{x}-10^{-x}$.
$\hspace{0.3cm}$ l)$\ y=(2+\textrm{sen} \ x)^{\cos \ 3x}$.
$\hspace{0.3cm}$ m)$\ y=\ln (1+\frac{1}{x})$.
$\hspace{0.3cm}$ n)$\ y=(1+1^x)^x$.
$\hspace{0.3cm}$ o)$\ y=x^{x^x}$.
$\hspace{0.3cm}$ p)$\ y=x^{\pi}+\pi^x$.
$\hspace{0.3cm}$ q)$\ y=(1+x)^{e^{-x}}$.

2) Sejam $f$ e $g$ deriváveis em $A$, com $f(x)>0$ em $A$. Verifique que, para todo $x \in A$, $$[f(x)^{g(x)}]'=f(x)^{g(x)}g'(x) \ln \ f(x)+g(x)f(x)^{g(x)-1}f'(x)$$ Observe: ́A primeira parcela é a derivada de $f(x)^{g(x)}$, supondo $f$ constante e a segunda é a derivada de $f(x)^{g(x)}$, supondo $g$ constante.

3) Utilizando o resultado obtido no Exercício 2, calcule a derivada.
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ y=(x+2)^x$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ y=(1+e^x)^{x^2}$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ y=(4+\textrm{sen}\ 3x)^x$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ y=(x+3)^{x^2}$.
$\hspace{0.3cm}$ e)$\ y=(3+\pi)^{x^2}$.
$\hspace{0.3cm}$ f)$\ y=(x^2+1)^{\pi}$.

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