Guidorizzi Vol 1 Seção 10.1 - Relação Entre Funções Com Derivadas Iguais

1) Seja $f : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, derivável e tal que para todo $x$, $f'(x)=\alpha f(x)$, $\alpha$ constante não nula. Prove que existe uma constante $k$, tal que, para todo $x$, $f(x)=ke^{\alpha x}$.

2) Determine $y=f(x)$, tal que $x \in \mathbb{R}$.
$$f'(x)=2f(x), \ \ f(0)=1$$ (Sugestão: utilize o Exercício 1.)

3) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $0x$, de modo que em cada instante $t$ a velocidade é o dobro da posição $x=x(t)$. Sabe-se que $x(0)=1$. Determine a posição da partícula no instante $t$.

4) A função $y=f(x)$, $x \in \mathbb{R}$, é tal que $f(0)=1$ e $f'(x)=2f(x)$ para todo $x$. Esboce o gráfico de $f$.

5) Seja $y=f(x)$, $x \in \mathbb{R}$, derivável até 2ª ordem e tal que, para todo $x$, $f"(x)+f(x)=0$. Seja $g$ dada por $g(x)= f'(x) \textrm{sen} x - f(x) \cos x$. Prove que $g$ é constante.

6) Seja $y=f(x)$, $x \in \mathbb{R}$, derivável até 2ª ordem e tal que, para todo $x$, $f"(x)+f(x)=0$. Prove que existe uma constante $A$ tal que:
$$\bigg[\dfrac{f(x)-A \cos x}{\textrm{sen} x}\bigg]'=0$$ para todo $x \in ]0, \pi[$. Conclua que exista outra constante $B$ tal que, para todo $x \in ]0, \pi[$, $f(x)=A \cos x+B\textrm{sen} x$.
(Sugestão: utilize o Exercício 6.)

7) Seja $y=f(x)$, $x \in \mathbb{R}$, derivável até 2ª ordem e tal que, para todo $x$, $f"(x)-f(x)=0$.

$\hspace{0.3cm}$ a) Prove que $g(x)=e^x[f'(x)-f(x)]$, $x \in \mathbb{R}$, é constante.
$\hspace{0.3cm}$ b) Prove que existe uma constante $A$ tal que, para todo $x$, $\bigg[\dfrac{f(x)-A e^{-x}}{e^x}\bigg]'=0$
$\hspace{0.3cm}$ c) Conclua de ($b$) que existe uma constante $B$ tal que, $f(x)=A e^{-x}+B{e^x}$, para todo $x$.

8) Sejam $f$ e $g$ duas funções definidas e deriváveis em $\mathbb{R}$. Suponha que $f(0)=0$, $g(0)=1$ e que para todo $x$. $$f'(x)=-g(x), \ \ g'(x)=-f(x)$$ $\hspace{0.3cm}$ a) Mostre que para todo $x$,
$$(f(x)-\textrm{sen}x)^2+(g(x)-\cos x)^2=0$$ $\hspace{0.3cm}$ b) Conclua de ($a$) que $f(x)=\textrm{sen}x$ e $g(x)=\cos x$.

9) Utilizando o Exercício 1, determine a única função $y=y(x)$, $x\in \mathbb{R}$, que satisfaça as condições dadas.
$\hspace{0.3cm}$ a) $\dfrac{dy}{dx}=2y$, $y(0)=1$.
$\hspace{0.3cm}$ b) $\dfrac{dy}{dx}=-y$, $y(0)=-1$.
$\hspace{0.3cm}$ c) $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2}y$, $y(0)=2$.
$\hspace{0.3cm}$ d) $\dfrac{dy}{dx}=\sqrt{2}y$, $y(0)=-\dfrac{1}{2}$.

10) Determine a função cujo gráfico passe pelo ponto $(0, 1)$ e tal que a reta tangente no ponto de abscissa $x$ intercepte o eixo $0x$ no ponto de abscissa $x+1$.

11) Determine uma função $y=f(x)$, definida num intervalo aberto, satisfazendo as condições dadas.
$\hspace{0.3cm}$ a) $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{y^3}$, $y(0)=1$.
$\hspace{0.3cm}$ b) $\dfrac{dy}{dx}=y\ \textrm{sen}x$, $y(0)=1$.

12) Seja $f : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, derivável até 2ª ordem e tal que, para todo $x$,
$$f''(x)=-f(x)$$ $\hspace{0.3cm}$ a) Mostre que para todo $x$,
$$\dfrac{d}{dx}\Big[(f'(x))^2+(f(x))^2\Big]=0.$$ $\hspace{0.3cm}$ b) Conclua que existe uma constante $E$ tal que, para todo $x$,
$$(f'(x))^2+(f(x))^2=E.$$ 13) Sejam $f(t)$, $g(t)$ e $h(t)$ deriváveis em $\mathbb{R}$ e tais que, para todo $t$, $$f'(t)=g(t), \ \ g'(t)=-f(t)-h(t), \ \ h'(t)=g(t).$$ Suponha que $f(0)=g(0)=h(0)=1$. Prove que, para todo $t$, $$(f'(t))^2+(g(t))^2+(h(t))^2=3.$$ 14) Sejam $f(t)$ e $g(t)$ deriváveis em $\mathbb{R}$ e tais que, para todo $t$, $$f'(t)=2g(t), \ \ g'(t)=-f(t).$$ Suponha, ainda, que $f(0)=0$ e $g(0)=1$. Prove que, para todo $t$, o ponto $(f(t),g(t))$, pertence à elipse $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1.$


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