Introdução às Funções de uma Variável Complexa - SBM Textos Universitários - Capítulo 1

1) Conclua a demonstração da Proposição 1.1: As seguintes propriedades valem para quaisquer $z,w,t\in\mathbb{C}$:
a) Associatividade da adição: $z+(w+t)=(z+w)+t$.
b) Comutatividade da adição: $z+w=w+z$.
c) Elemento neutro: $0+z=z$.
d) Elemento oposto: $z+(-z)=0$.
e) Associatividade da multiplicação: $z(wt)=(zw)t$.
f) Comutatividade da multiplicação: $zw=wz$.
g) Elemento unidade: $1z=z$.
h) Elemento inverso: $zz^{-1}=1$.
i) Distributividade da multiplicação em relação à adição: $z(w+t)=zw+zt$.

2) Sejam $z,w\in\mathbb{C}$. Mostre que se $zw=0$, então $z=0$ ou $w=0$.

3) Sejam $z_1,z_2,w_1,w_2\in\mathbb{C}$, com $w_1\neq0$ e $w_2\neq0$. Mostre que $$\frac{z_1}{w_1}+\frac{z_2}{w_2}=\frac{z_1w_2+z_2w_1}{w_1w_2}\ \ \textrm{e} \ \ \frac{z_1}{w_1}\frac{z_2}{w_2}=\frac{z_1z_2}{w_1w_2}$$ 4) Se $z=1-i$ e $w=4i$, expresse os seguintes números complexos na forma $x+yi$:
a) $3z+iwz-z\overline{w}^3$.
b) $2|w|+(1-i)z+|z|^2$.
c) $(w+z)/(w-z)$.
d) $\textrm{Im}(\overline{z}w^2)+16i\textrm{Re}(zw^{-1})$.
e) $5i\textrm{sen}(\textrm{Arg}\ w)+z\cos(\textrm{Arg}\ 3z)$.

5) Mostre que a identidade $\displaystyle 1+z+\cdots+z^n=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}$ vale para todo $n\in\mathbb{N}$ e para todo $z\in\mathbb{C}$, com $z\neq1$.

6) Conclua a demonstração da Proposição 1.2: As seguintes propriedades valem para quaisquer $z,w\in\mathbb{C}$:
a) $\overline{\overline{z}}=z,\ \overline{z\pm w}=\overline{z}\pm\overline{w}$ e $\overline{zw}=\overline{z}\overline{w}$.
b) $\overline{z/w}=\overline{z}/\overline{w}$, se $w\neq0$.
c) $z+\overline{z}=2\textrm{Re}\ z$ e $z-\overline{z}=2i\textrm{Im}\ z$.
d) $z\in\mathbb{R}$ se, e somente se, $\overline{z}=z$.
d) $z$ é imaginário puro se, e somente se, $\overline{z}=-z$.

7) Prove e dê o significado geométrico da identidade $$|z+w|^2+|z-w|^2=2|z|^2+2|w|^2,\ \ (z,w\in\mathbb{C}).$$ 8) Dados dois números complexos não nulos $z$ e $w$, mostre que $|z+w|=|z|+|w|$ se, e somente se, $w=tz$ para algum $t>0$.

9) Conclua a demonstração da Proposição 1.3: As seguintes propriedades se verificam para quaisquer $z,w\in\mathbb{C}$:
a) $\textrm{Re}\ z\leq |\textrm{Re}\ z| \leq |z|$ e $\textrm{Im}\ z\leq |\textrm{Im}\ z| \leq |z|$.
b) $|z|^2=z\overline{z}$, $|\overline{z}|=|z|$ e $|zw|=|z||w|$.
c) $|z/w|=|z|/|w|$, se $w\neq0$.
d) $|z+w|\leq|z|+|w|$.
d) $|z+w|\geq||z|-|w||$.

10) Represente graficamente cada um dos seguintes subconjuntos do plano complexo:
a) $\{z\in\mathbb{C}: |z-1|=|z-i|\}$.
b) $\{z\in\mathbb{C}: |z-1|=\textrm{Re}\ z\}$.
c) $\{z\in\mathbb{C}: \textrm{Im}\ (z^2)>0\}$.
d) $\{z\in\mathbb{C}: \textrm{Re}\ (1/z)<1/2\}$.
e) $\{z\in\mathbb{C}: |z-4|>|z|\}$.
f) $\{z\in\mathbb{C}: |\textrm{Arg}\ z-\textrm{Arg}\ i|<\pi/6\}$.
g) $\{z\in\mathbb{C}: |\textrm{Arg}(z-i)|<\pi/6\}$.

11) Compute
a) As raízes quadradas de $1-i\sqrt{3}$.
b) As raízes cúbicas de $27$.
c) As raízes de ordem $4$ de $-1$.

12) Mostre que a igualdade $\sqrt{zw}=\sqrt{z}\sqrt{w}$ não é necessariamente verdadeira para $z$ e $w$ quaisquer em $\mathbb{C}$. Confirme, porém que esta fórmula é válida se $z$ ou $w$ for um número real não negativo.

13) Ache todas as soluções das seguintes equações:
a) $z^2-4iz-4-2i=0$.
b) $iz^4-(2+4i)z^2-i=0$.

14) Prove que $|\textrm{Re}\ z|+|\textrm{Im}\ z|\geq\sqrt{2}|z|$, para todo $z\in\mathbb{C}$.

15) Para que números complexos $z\neq0$, temos $\sqrt{z/\overline{z}}=z/|z|$?

16) Sejam $z$ e $w$ dois números complexos não nulos. Mostre que $$\textrm{Re}(z\overline{w})=|z|w|\ \textrm{se, e somente se,}\ \textrm{arg}\ z=\textrm{arg}\ w.$$ 17) Seja $c\in\mathbb{C}$, com $|c|<1$. Mostre que $|z+c|\leq|1+\overline{c}z|$ se, e somente se, $|z|\leq1$, com a igualdade ocorrendo se, e somente se, $|z|=1$.

18) Prove que $e^{-|z|}\leq |e^z|\leq e^{|z|}$ para todo $z\in\mathbb{C}$.

19) Conclua a demonstração da Proposição 1.6: dados dois números complexos não nulos $z_1$ e $z_2$, temos que
a) $\log(z_1z_2)=\log z_1+\log z_2$.
b) $\log(z_1/z_2)=\log z_1-\log z_2$.
c) $\log(z_1^m)=m\log z_1$, para todo $m\in\mathbb{Z}^*$.

20) Verifique que $$\textrm{Log}(1-z^2)=\textrm{Log}(1-z)+\textrm{Log}(1+z)$$ quando $|z|\leq1$. O que podemos dizer de $\textrm{Log}\dfrac{1-z}{1+z}$ para tais valores de $z$?

21) Expresse os seguintes números complexos na forma $x+yi$:
a) $\textrm{Log}(-e^3)+i^i$.
b) $(-1)^i\textrm{Log}(-i)$.

22) Calcule todas as $\lambda$ potências de $z$ quando:
a) $z=ie^\pi$ e $\lambda=i$.
b) $z=1$ e $\lambda=2-i$.

23) Dê exemplos mostrando que é possível termos:
a) $(zw)^{\lambda}\neq z^{\lambda}w^{\lambda}$.
b) $(z^{\lambda})^{\mu}\neq z^{\lambda\mu}$.

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