Guidorizzi Vol. 1, Seção 10.2 - Primitiva de uma função.

1) Calcule.
$\hspace{0.3cm}$ a) $\displaystyle\int x\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ b) $\displaystyle\int 3\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ c) $\displaystyle\int (3x+1)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ d) $\displaystyle\int (x^2+x+1)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ e) $\displaystyle\int x^3\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ f) $\displaystyle\int (x^3+2x+3)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ g) $\displaystyle\int \frac{1}{x^2}\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ h) $\displaystyle\int \left(1+\frac{1}{x^3}\right)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ i) $\displaystyle\int \sqrt{x}\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ j) $\displaystyle\int \sqrt[3]{x}\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ l) $\displaystyle\int \left(1+\frac{1}{x}\right)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ m) $\displaystyle\int (2+\sqrt[4]{x})\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ n) $\displaystyle\int (ax+b)\ dx$, com $a$ e $b$ constantes.

$\hspace{0.3cm}$ o) $\displaystyle\int \left(3x^2+x+\frac{1}{x^3}\right)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ p) $\displaystyle\int \left(\sqrt{x}+\frac{1}{x^2}\right)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ q) $\displaystyle\int \left(\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}\right)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ r) $\displaystyle\int \left(3\sqrt[5]{x^2}+3\right)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ s) $\displaystyle\int \left(2x^3-\frac{1}{x^4}\right)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ t) $\displaystyle\int \frac{x^2+1}{x}\ dx$.

2) Seja $\alpha\neq0$ um número real fixo. Verifique que:
$\hspace{0.3cm}$ a) $\int \textrm{sen}\ \alpha x\ dx=-\dfrac{1}{\alpha}\cos\alpha x+k$.
$\hspace{0.3cm}$ b) $\int \cos \alpha x\ dx=\dfrac{1}{\alpha}\textrm{sen}\alpha x+k$.

3) Calcule.
$\hspace{0.3cm}$ a) $\displaystyle\int e^{2x}\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ b) $\displaystyle\int e^{-x}\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ c) $\displaystyle\int (x+3e^x)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ d) $\displaystyle\int \cos 3x\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ e) $\displaystyle\int \textrm{sen}\ 5x\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ f) $\displaystyle\int (e^{2x}+e^{-2x})\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ g) $\displaystyle\int (x^2+\textrm{sen}\ x)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ h) $\displaystyle\int (3+\cos x)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ i) $\displaystyle\int \frac{e^x+e^{-x}}{2}\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ j) $\displaystyle\int \frac{1}{e^{3x}}\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ l) $\displaystyle\int (\textrm{sen}\ 3x+\cos 5x)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ m) $\displaystyle\int \left(\frac{1}{x}+e^x\right)\ dx$, $x>0$.

$\hspace{0.3cm}$ n) $\displaystyle\int \textrm{sen}\frac{x}{2}\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ o) $\displaystyle\int \cos\frac{x}{3}\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ p) $\displaystyle\int \left(\sqrt[3]{x}+\cos 3x\right)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ q) $\displaystyle\int (x+e^{3x})\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ r) $\displaystyle\int (3+e^{-x})\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ s) $\displaystyle\int 5e^{7x}\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ t) $\displaystyle\int (1-\cos 4x)\ dx$.

$\hspace{0.3cm}$ m) $\displaystyle\int \left(2+\textrm{sen}\frac{x}{3}\right)\ dx$.

4) Verifique que:
$\hspace{0.3cm}$ a) $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ dx=\textrm{arc}\textrm{sen}\ x+k$.
$\hspace{0.3cm}$ b) $\displaystyle\int \frac{1}{{1+x^2}}\ dx=\textrm{arc}\textrm{tg}\ x+k$.

5) Determine a função $y=y(x)$, $x\in\mathbb{R}$, tal que
$\hspace{0.3cm}$ a) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=3x-1$ e $y(0)=2$.

$\hspace{0.3cm}$ b) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=x^3-x+1$ e $y(1)=1$.

$\hspace{0.3cm}$ c) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\cos x$ e $y(0)=0$.

$\hspace{0.3cm}$ d) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\textrm{sen}\ 3x$ e $y(0)=1$.

$\hspace{0.3cm}$ e) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}x+3$ e $y(-1)=0$.

$\hspace{0.3cm}$ f) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=e^{-x}$ e $y(0)=1$.

6) Determine a função $y=y(x)$, $x>0$, tal que
$\hspace{0.3cm}$ a) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^2}$ e $y(1)=1$.

$\hspace{0.3cm}$ b) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=3+\frac{1}{x}$ e $y(1)=2$.

$\hspace{0.3cm}$ c) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=x+\frac{1}{\sqrt{x}}$ e $y(1)=0$.

$\hspace{0.3cm}$ d) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$ e $y(1)=1$.

7) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $x$ com velocidade $v(t)=t+3$, $t\geq0$. Sabe-se que, no instante $t=0$, a partícula encontra-se na posição $x=2$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Qual a posição da partícula no instante $t$?
$\hspace{0.3cm}$ b) Determine a posição da partícula no instante $t=2$.
$\hspace{0.3cm}$ c) Determine a aceleração.

8) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $x$ com velocidade $v(t)=2t-3$, $t\geq0$. Sabe-se que no instante $t=0$ a partícula encontra-se na posição $x=5$. Determine o instante em que a partícula estará mais próxima da origem.

9) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $x$ com velocidade $v(t)=at+v_0$, $t\geq0$ ($a$ e $v_0$ constantes). Sabe-se que no instante $t=0$ a partícula encontra-se na posição $x=x_0$. Determine a posição $x=x(t)$ da partícula no instante $t$.

10) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $x$ com função de posição $x=x(t)$, $t\geq0$. Determine $x=x(t)$, sabendo que
$\hspace{0.3cm}$ a) $\displaystyle\frac{dx}{dt}=2t+3$ e $x(0)=2$.

$\hspace{0.3cm}$ b) $v(t)=t^2-1$ e $x(0)=-1$.

$\hspace{0.3cm}$ c) $\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=3$, $v(0)=1$ e $x(0)=1$.

$\hspace{0.3cm}$ d) $\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=e^{-t}$, $v(0)=0$ e $x(0)=1$.

$\hspace{0.3cm}$ e) $\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=\cos 2t$, $v(0)=1$ e $x(0)=0$.

$\hspace{0.3cm}$ f) $\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=\textrm{sen}\ 3t$, $v(0)=1$ e $x(0)=0$.

$\hspace{0.3cm}$ g) $\displaystyle\frac{dx}{dt}=\frac{1}{1+t^2}$ e $x(0)=0$.

11) Esboce o gráfico da função $y=y(x)$, $x\in\mathbb{R}$, sabendo que
$\hspace{0.3cm}$ a) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=2x-1$ e $y(0)=0$.

$\hspace{0.3cm}$ b) $\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}=-4\cos 2x$, $y(0)=1$ e $y'(0)=0$.

$\hspace{0.3cm}$ c) $\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}=e^{-x}$, $y(0)=0$ e $y'(0)=-1$.

$\hspace{0.3cm}$ d) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}$ e $y(0)=0$.

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