Guidorizzi Vol 3, Seção 6.2 - Outra notação para a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva

1) Calcule $\displaystyle\int_\gamma x\ dx+y\ dy$ sendo $\gamma$ dada por $x=t^2$, $y=\sin t$, $0\leq t\leq\dfrac{\pi}{2}$.

2) Calcule $\displaystyle\int_\gamma x\ dx-y\ dy$, onde $\gamma$ é o segmento de extremidades $(1,1)$ e $(2,3)$, percorrido no sentido de $(1,1)$ para $(2,3)$.

3) Calcule $\displaystyle\int_\gamma x\ dx+y\ dy+z\ dz$, onde $\gamma$ é o segmento de extremidades $(0,0,0)$ e $(1,2,1)$, percorrido no sentido de $(1,2,1)$ para $(0,0,0)$.

4) Calcule $\displaystyle\int_\gamma x\ dx+dy+2z\ dz$, onde $\gamma$ é a interseção do paraboloide $z=x^2+y^2$ com o plano $z=2x+2y-1$. o sentido do percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de $\gamma(t)$, no plano $xy$, caminhe no sentido anti-horário.

5) Calcule $\displaystyle\int_\gamma dx+xy\ dy+z\ dz$, onde $\gamma$ é a interseção de $x^2+y^2+z^2=2$, $x\geq 0$, $y\geq 0$, $z\geq 0$, com o plano $y=x$; o sentido do percurso é do ponto $\left(0,0,\sqrt{2}\right)$ para $(1,1,0)$.

6) Calcule $\displaystyle\int_\gamma 2\ dx-dy$, onde $\gamma$ tem por imagem $x^2+y^2=4$, o sentido do percurso é de $(2,0)$ para $(0,2)$.

7) Calcule $\displaystyle\int_\gamma \dfrac{-y}{4x^2+y^2}dx+\dfrac{x}{4x^2+y^2}dy$, onde $\gamma$ tem por imagem a elipse $4x^2+y^2=9$, o sentido do percurso é o anti-horário.

8) Seja $\gamma(t)=(R\cos t, R\sin t)$,$0\leq t\leq 2\pi$ $(R>0)$. Mostre que \[ \displaystyle\int_\gamma \dfrac{-y}{x^2+y^2}dx+\dfrac{x}{x^2+y^2}dy\] não depende de $R$.

9) Calcule $\displaystyle\int_\gamma dx+y\ dy+z\ dz$, onde $\gamma$ é a interseção do plano $y=x$ com a superfície $z=x^2+y^2$, $z\leq 2$, sendo o sentido do percurso é do ponto $(-1,-1,2)$ para o ponto $(1,1,2)$.

10) Calcule $\displaystyle\int_\gamma dx+dy+dz$, onde $\gamma$ é a interseção entre as superfícies $y=x^2$ e $z=2-x^2-y^2$, $x\geq 0$, $y\geq 0$, $z\geq 0$, sendo o sentido do percurso é do ponto $(1,1,0)$ para o ponto $(0,0,2)$.

11) Calcule $\displaystyle\int_\gamma 2x\ dx+z\ dy+x\ dz$, onde $\gamma$ é a interseção das superfícies $x^2+4y^2=1$ e $x^2+z^2=1$, $y\geq 0$, $z\geq 0$, sendo o sentido do percurso é do ponto $(1,0,0)$ para o ponto $(-1,0,0)$.

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Guidorizzi Vol 3, Seção 6.1 - Integral de Linha

1) Calcule $\displaystyle\int_\gamma\textbf{F}\cdot d\textbf{r}$ sendo dados:
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ \textbf{F}(x,y,z)=x\textbf{i}+y\textbf{j}+z\textbf{k}$ e $\gamma(t)=(\cos t,\sin t, t), 0\leq t\leq 2\pi$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ \textbf{F}(x,y,z)=(x+y+z)\textbf{k}$ e $\gamma(t)=(t,t,1-t^2), 0\leq t\leq 1$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ \textbf{F}(x,y)=x^2\textbf{j}$ e $\gamma(t)=(t^2,3), -1\leq t\leq 1$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ \textbf{F}(x,y)=x^2\textbf{i}+(x-y)\textbf{j}$ e $\gamma(t)=(t,\sin t), 0\leq t\leq \pi$.
$\hspace{0.3cm}$ e)$\ \textbf{F}(x,y,z)=x^2\textbf{i}+y^2\textbf{j}+z^2\textbf{k}$ e $\gamma(t)=(2\cos t,3\sin t, t), 0\leq t\leq 2\pi$.

2) Seja $\textbf{F}:\mathbb{R}^2\leftarrow\mathbb{R}^2$ um campo vetorial contínuo tal que, para todo $(x,y)$, $\textbf{F}(x,y)$ é paralelo ao vetor $x\textbf{i}+y\textbf{j}$. Calcule $\displaystyle\int_\gamma\textbf{F}\cdot d\textbf{r}$, onde $\gamma:\left[a,b\right]\leftarrow\mathbb{R}^2$ é uma curva de classe $C^1$, cuja imagem está contida na circunferência de centro na origem e raio $r>0$. Interprete geometricamente.

3) Uma partícula move-se no plano de modo que no instante $t$ sua posição é dada por $\gamma(t)=(t,t^2)$. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças $\textbf{F}(x,y)=(x+y)\textbf{i}+(x-y)\textbf{j}$ no deslocamento da partícula de $\gamma(0)$ até $\gamma(1)$.

4) Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por $\textbf{F}(x,y,z)=-y\textbf{i}+x\textbf{j}+z\textbf{k}$. Calcule o trabalho realizado por $\textbf{F}$ no deslocamento da partícula de $\gamma(a)$ até $\gamma(b)$, sendo dados:
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ \gamma(t)=(\cos t,\sin t, t)$, $a=0$ e $b=2\pi$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ \gamma(t)=(2t+1,t-1,t)$, $a=1$ e $b=2$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ \gamma(t)=(\cos t,0,\sin t)$, $a=0$ e $b=2\pi$.

5) Calcule $\displaystyle\int_\gamma\textbf{E}\cdot d\textbf{l}$, onde $E(x,y)=\dfrac{1}{x^2+y^2}\dfrac{x\textbf{i}+y\textbf{j}}{\sqrt{x^2+y^2}}$ e $\gamma(t)=(t,1)$, $-1\leq t\leq 1$. (O $\textbf{l}$ desempenha aqui o mesmo papel que o $\textbf{r}$: $\textbf{l}(t)=\gamma(t)$).

6)Seja $\textbf{E}$ o campo do exercício anterior e seja $\gamma$ acurva dada por $x=t$ e $y=1-t^4$,$-1\leq t\leq 1$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Que valor é razoável esperar para $\displaystyle\int_\gamma\textbf{E}\cdot d\textbf{l}$? Por quê?
$\hspace{0.3cm}$ b) Calcule $\displaystyle\int_\gamma\textbf{E}\cdot d\textbf{l}$.

7) Calcule $\displaystyle\int_\gamma\textbf{E}\cdot d\textbf{l}$, onde $\textbf{E}$ é o campo dado no Exercício 5 e $\gamma$ a curva dada por $x=2\cos t$, $y=\sin t$, com $0\leq t \leq \dfrac{\pi}{2}$.

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