1) Suponha que $y=f(x)$ seja uma função derivável e dada implicitamente pela equação.
\[
xy^2+y+x=1.
\]
Mostre que $f'(x)=\dfrac{-1-[f(x)]^2}{2xf(x)+1}$ em todo $x \in D_f$, com $2xf(x)+1 \neq 0$.
2) Determine uma função $y=f(x)$ que seja dada implicitamente pela equação $xy^2+y+x=1$.
3) A função $y=f(x)$ é dada implicitamente pela equação $xy+3=2x$. Mostre que $x \dfrac{dx}{dy}=2-y$. Calcule $\frac{dx}{dy}\big|_{x=2}$
4) Expresse $\dfrac{dx}{dy}$ em termos de $x$ e de $y$, em que $y=f(x)$ é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ x^2-y^2=4$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ y^3+x^2y=x+4$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ xy^2+2y=3$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ y^5+y=x$.
$\hspace{0.3cm}$ e)$\ x^2+4y^2=3$.
$\hspace{0.3cm}$ f)$\ xy+y^3=x$.
$\hspace{0.3cm}$ g)$\ x^2+y^2+2y=0$.
$\hspace{0.3cm}$ h)$\ x^2y^3+xy=2$.
$\hspace{0.3cm}$ i)$\ xe^y+xy=3$.
$\hspace{0.3cm}$ j)$\ y+\ln (x^2+y^2)=4$.
$\hspace{0.3cm}$ l)$\ 5y+ \cos y=xy$.
$\hspace{0.3cm}$ m)$\ 2y+ \textrm{sen} \ y=x$.
5) A função $y=f(x)$, $y>0$, é dada implicitamente por $x^2+4y^2=2$. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f$, no ponto de abscissa 1.
6) Determine a equação da reta tangente à elipse $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, no ponto $(x_0,y_0)$, $y \neq 0$.
7) Verifique que $y_0x+x_0y=2$ é a equação da reta tangente à curva $xy=1$ no ponto $(x_0,y_0), \ x_0>0$. Conclua que $(x_0,y_0)$ é o ponto médio do segmento $AB$, em que $A$ e $B$ são as interseções da reta tangente, em $(x_0,y_0)$, com os eixos coordenados.
8) Suponha que $y=f(x)$ seja uma função derivável dada implicitamente pela equação $y^3+2xy^2+x=4$. Suponha, ainda, que $1 \in D_f$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Calcule $f(1)$.
$\hspace{0.3cm}$ b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f$, no ponto de abscissa 1.
9) A reta tangente à curva $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1$, no ponto $(x_0,y_0)$, $x_0>0$ e $y_0>0$, intercepta os eixos $x$ e $y$ nos pontos $A$ e $B$, respectivamente. Mostre que a distância de $A$ e $B$ não depende de $(x_0,y_0)$.
10) A reta tangente à curva $xy-x^2=1$ no ponto $(x_0,y_0)$, $x_0>0$, intercepta o eixo $y$ no ponto $B$. Mostre que a área do triângulo de vértices $(0,0)$, $(x_0,y_0)$, e $B$ não depende de $(x_0,y_0)$, $x_0>0$.
11) A função $y=f(x)$ é dada implicitamente pela equação $3y^2+2xy-x^2=3$. Sabe-se que, para todo $x \in D_f$, $f(x)>0$ e que $f$ admite uma reta tangente $T$ paralela à reta $5y-x=2$. Determine $T$.
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terça-feira, 25 de abril de 2017
quarta-feira, 18 de janeiro de 2017
Guidorizzi Vol 1 Seção 12.5 - Primitiva de Funções Racionais do Tipo $$\int \dfrac{P(x)}{(x-\alpha)(x-\beta)}dx$$
Calcule:
1) $$\int \dfrac{1}{x^2-4}dx$$
2) $$\int \dfrac{x}{x^2-5x+6}dx$$
3) $$\int \dfrac{x}{x^2-4}dx$$
4) $$\int \dfrac{2x+1}{x^2-1}dx$$
5) $$\int \dfrac{5x^2+1}{x-1}dx$$
7) $$\int \dfrac{x^2+3x+1}{x^2-2x-3}dx$$
8) $$\int \dfrac{x^2+1}{(x-2)^3}dx$$
9) $$\int \dfrac{x+3}{x^2-x}dx$$
10) $$\int \dfrac{x^2+x+1}{x^2-x}dx$$
11) $$\int \dfrac{x^3+x+1}{x^2-2x+1}dx$$
12) $$\int \dfrac{x^3+x+1}{x^2-4x+3}dx$$
13) $$\int \dfrac{1}{x^2+5}dx$$
14) $$\int \dfrac{x+1}{x^2+9}dx$$
15) $$\int \dfrac{x^2+3}{x^2-9}dx$$
16) $$\int \dfrac{1}{x^2-x-2}dx$$
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1) $$\int \dfrac{1}{x^2-4}dx$$
2) $$\int \dfrac{x}{x^2-5x+6}dx$$
3) $$\int \dfrac{x}{x^2-4}dx$$
4) $$\int \dfrac{2x+1}{x^2-1}dx$$
5) $$\int \dfrac{5x^2+1}{x-1}dx$$
7) $$\int \dfrac{x^2+3x+1}{x^2-2x-3}dx$$
8) $$\int \dfrac{x^2+1}{(x-2)^3}dx$$
9) $$\int \dfrac{x+3}{x^2-x}dx$$
10) $$\int \dfrac{x^2+x+1}{x^2-x}dx$$
11) $$\int \dfrac{x^3+x+1}{x^2-2x+1}dx$$
12) $$\int \dfrac{x^3+x+1}{x^2-4x+3}dx$$
13) $$\int \dfrac{1}{x^2+5}dx$$
14) $$\int \dfrac{x+1}{x^2+9}dx$$
15) $$\int \dfrac{x^2+3}{x^2-9}dx$$
16) $$\int \dfrac{1}{x^2-x-2}dx$$
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quinta-feira, 12 de janeiro de 2017
Álgebra Linear e aplicações (Callioli) - Núcleo, Imagem, Isomorfismos e Automorfismos
1) Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar uma base a dimensão do núcleo e da imagem:
$\hspace{0.3cm}$ a) $\ F:\mathbb{R^3} \rightarrow\mathbb{R}$ tal que $F(x,y,z)=x+y-z$.
$\hspace{0.3cm}$ b) $\ F:\mathbb{R^2} \rightarrow\mathbb{R^2}$ tal que $F(x,y)=(2x,x+y)$.
$\hspace{0.3cm}$ c) $\ F:\mathbb{R^3} \rightarrow\mathbb{R^4}$ tal que $F(x,y,z)=(x-y-z,x+y+z,2x-y+z,-y)$.
$\hspace{0.3cm}$ d) $\ F:P_2(\mathbb{R}) \rightarrow P_2(\mathbb{R})$ tal que $F(f(t))=t^2f''(t)$.
$\hspace{0.3cm}$ e) $\ F:M_2(\mathbb{R}) \rightarrow M_2(\mathbb{R})$ dada por $F(X)=MX+X$, onde $$M= \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$$ $\hspace{0.3cm}$ f) $\ F:M_2(\mathbb{R}) \rightarrow M_2(\mathbb{R})$ dada por $F(X)=MX-XM$, onde $$M= \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$ 2) Determinar um operador linear $\ F:\mathbb{R^3} \rightarrow\mathbb{R^3}$ cuja imagem é gerada $(2,1,1)$ e $(1,-1,2)$.
3) Determinar um operador linear do $\mathbb{R^4}$ cujo núcleo é gerado $(1,1,0,0)$ e $(0,0,1,0)$.
4) Determinar um operador linear do $\mathbb{R^3}$ cujo núcleo tenha dimensão 1.
5) Seja $F:\mathbb{R^3} \rightarrow\mathbb{R^3}$ tal que $F(1,0,0)=(1,1,0)$, $F(0,0,1)=(0,0,2)$ e $F(0,1,0)=(1,1,2)$. Determinar uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais: $\ker F$, $\Im F$, $\ker F \cap \textrm{Im} F$ e $\ker F + \textrm{Im}F$.
6) Mostrar que cada um dos operadores lineares do $\mathbb{R^3}$ a seguir e determinar o homomorfismo inverso em cada caso:
$\hspace{0.3cm}$ a) $\ F(x,y,z)=(x-3y-2z, y-4z, z)$.
$\hspace{0.3cm}$ b) $\ F(x,y,z)=(x, x-y, 2x+y-z)$.
7) Considere o operador linear do $\mathbb{R^3}$ definido por $F(1,0,0)=(1,1,1)$, $F(0,1,0)=(1,0,1)$ e $F(0,1,2)=(0,0,4)$. $F$ é inversível? Se for, determine o isomorfismo inverso.
8) Sejam $u,v \in\mathbb{R}^2$ tais que $\{u,v\}$ é uma base de $\mathbb{R}^2$. Seja $F:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^n$ uma transformação linear, mostrar que uma das seguintes alternativas se verifica:
$\hspace{0.3cm}$ a) $\{F(u),F(v)\}$ é LI.
$\hspace{0.3cm}$ b) $\dim \textrm{Im}=1$.
$\hspace{0.3cm}$ c) $\textrm{Im} F = \{0\}$.
9) Sejam $U$ e $V$ subespaços do espaço vetorial $W$ tais que $W=U\oplus V$. Consideremos o espaço vetorial $U\times V$ cuja adição é $(u_1,v_1)+(u_2,v_2)=(u_1+u_2,v_1+v_2)$ e cuja multiplicação por escalares é dada por $\alpha(u,v)=(\alpha u,\alpha v)$. Mostrar que é um isomorfismo de $U\times V$ em $W$ a aplicação assim definida: $F(u,v)=u+v$.
10) Seja $\{e_1,\dots,e_n\}$ a base canônica do $\mathbb{R^n}$. Seja $F:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ o operador linear dado por $F(e_1)=e_2, F(e_2)=e_3, \dots F(e_n)=e_1$. Determinar $F(x_1,\dots,x_n)$ e verificar se $F$ é um automorfismo. Se for, ache o automorfismo inverso.
11) Considere uma transformação linear $T:U\rightarrow V$. Provar que se o conjunto $\{T(u_1),\dots,T(u_r)\}$ é LI em $V$, então $\{u_1,\dots,u_r\}$ é LI em $U$. Provar que, se $T$ é injetora e $\{u_1,\dots,u_r\}$ é LI em $U$, então $\{T(u_1),\dots,T(u_r)\}$ é LI em $V$.
12) Consideremos o espaço vetorial $F:\mathbb{R}^\infty=\{(a_1,a_2,...)|a_i\in \mathbb{R}\}$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Mostrar que a transformação linear $\ T:\mathbb{R}^\infty \rightarrow\mathbb{R}^\infty$ tal que $T(a_1,a_2,...)=(0,a_1,a_2,...)$ é injetora mas não é sobrejetora.
$\hspace{0.3cm}$ b) Mostrar que a transformação linear $\ F:\mathbb{R}^\infty \rightarrow\mathbb{R}^\infty$ tal que $F(a_1,a_2,...)=(a_2,a_3,...)$ é sobrejetora mas não é injetora.
$\hspace{0.3cm}$ c) Encontrar uma aplicação linear injetora de $P(\mathbb{R})$ em $\mathbb{R}^\infty$.
13) Consideremos uma transformação linear $T:U\rightarrow V$. Se $\dim U > \dim V$, prove que existe um vetor não nulo $u_0 \in U$ tal que $F(u_0)=0$ (vetor nulo de $V$). (Ou seja, $F$ não é injetora).
14) Seja $W=U\oplus V$. Consideremos os operadores lineares de $W$ (projeções sobre $U$ e $V$, respectivamente) dados por $P_1(u+v)=u$ e $P_2(u+v)=v, \forall u+v \in W$. Definido $H:W \rightarrow W$, por $H(w)=P_1(w)-P_2(w),\forall w \in W$. Mostre que $H$ úm isomorfismo so espaço vetorial $W$ nele mesmo, isto é, $H$ é um automorfismo de $W$.
Tome $W=\mathbb{R}^2$, $U=[(1,1)]$, $V=[(1,-1)]$ e represente geometricamente $U$, $V$, $W$, $P_1$, $P_2$ e $H$.
15) Provar que $\mathbb{R}^2$ é isomorfo a qualquer subespaço de dimensão 2 do $\mathbb{R}^3$.
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$\hspace{0.3cm}$ a) $\ F:\mathbb{R^3} \rightarrow\mathbb{R}$ tal que $F(x,y,z)=x+y-z$.
$\hspace{0.3cm}$ b) $\ F:\mathbb{R^2} \rightarrow\mathbb{R^2}$ tal que $F(x,y)=(2x,x+y)$.
$\hspace{0.3cm}$ c) $\ F:\mathbb{R^3} \rightarrow\mathbb{R^4}$ tal que $F(x,y,z)=(x-y-z,x+y+z,2x-y+z,-y)$.
$\hspace{0.3cm}$ d) $\ F:P_2(\mathbb{R}) \rightarrow P_2(\mathbb{R})$ tal que $F(f(t))=t^2f''(t)$.
$\hspace{0.3cm}$ e) $\ F:M_2(\mathbb{R}) \rightarrow M_2(\mathbb{R})$ dada por $F(X)=MX+X$, onde $$M= \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$$ $\hspace{0.3cm}$ f) $\ F:M_2(\mathbb{R}) \rightarrow M_2(\mathbb{R})$ dada por $F(X)=MX-XM$, onde $$M= \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$ 2) Determinar um operador linear $\ F:\mathbb{R^3} \rightarrow\mathbb{R^3}$ cuja imagem é gerada $(2,1,1)$ e $(1,-1,2)$.
3) Determinar um operador linear do $\mathbb{R^4}$ cujo núcleo é gerado $(1,1,0,0)$ e $(0,0,1,0)$.
4) Determinar um operador linear do $\mathbb{R^3}$ cujo núcleo tenha dimensão 1.
5) Seja $F:\mathbb{R^3} \rightarrow\mathbb{R^3}$ tal que $F(1,0,0)=(1,1,0)$, $F(0,0,1)=(0,0,2)$ e $F(0,1,0)=(1,1,2)$. Determinar uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais: $\ker F$, $\Im F$, $\ker F \cap \textrm{Im} F$ e $\ker F + \textrm{Im}F$.
6) Mostrar que cada um dos operadores lineares do $\mathbb{R^3}$ a seguir e determinar o homomorfismo inverso em cada caso:
$\hspace{0.3cm}$ a) $\ F(x,y,z)=(x-3y-2z, y-4z, z)$.
$\hspace{0.3cm}$ b) $\ F(x,y,z)=(x, x-y, 2x+y-z)$.
7) Considere o operador linear do $\mathbb{R^3}$ definido por $F(1,0,0)=(1,1,1)$, $F(0,1,0)=(1,0,1)$ e $F(0,1,2)=(0,0,4)$. $F$ é inversível? Se for, determine o isomorfismo inverso.
8) Sejam $u,v \in\mathbb{R}^2$ tais que $\{u,v\}$ é uma base de $\mathbb{R}^2$. Seja $F:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^n$ uma transformação linear, mostrar que uma das seguintes alternativas se verifica:
$\hspace{0.3cm}$ a) $\{F(u),F(v)\}$ é LI.
$\hspace{0.3cm}$ b) $\dim \textrm{Im}=1$.
$\hspace{0.3cm}$ c) $\textrm{Im} F = \{0\}$.
9) Sejam $U$ e $V$ subespaços do espaço vetorial $W$ tais que $W=U\oplus V$. Consideremos o espaço vetorial $U\times V$ cuja adição é $(u_1,v_1)+(u_2,v_2)=(u_1+u_2,v_1+v_2)$ e cuja multiplicação por escalares é dada por $\alpha(u,v)=(\alpha u,\alpha v)$. Mostrar que é um isomorfismo de $U\times V$ em $W$ a aplicação assim definida: $F(u,v)=u+v$.
10) Seja $\{e_1,\dots,e_n\}$ a base canônica do $\mathbb{R^n}$. Seja $F:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ o operador linear dado por $F(e_1)=e_2, F(e_2)=e_3, \dots F(e_n)=e_1$. Determinar $F(x_1,\dots,x_n)$ e verificar se $F$ é um automorfismo. Se for, ache o automorfismo inverso.
11) Considere uma transformação linear $T:U\rightarrow V$. Provar que se o conjunto $\{T(u_1),\dots,T(u_r)\}$ é LI em $V$, então $\{u_1,\dots,u_r\}$ é LI em $U$. Provar que, se $T$ é injetora e $\{u_1,\dots,u_r\}$ é LI em $U$, então $\{T(u_1),\dots,T(u_r)\}$ é LI em $V$.
12) Consideremos o espaço vetorial $F:\mathbb{R}^\infty=\{(a_1,a_2,...)|a_i\in \mathbb{R}\}$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Mostrar que a transformação linear $\ T:\mathbb{R}^\infty \rightarrow\mathbb{R}^\infty$ tal que $T(a_1,a_2,...)=(0,a_1,a_2,...)$ é injetora mas não é sobrejetora.
$\hspace{0.3cm}$ b) Mostrar que a transformação linear $\ F:\mathbb{R}^\infty \rightarrow\mathbb{R}^\infty$ tal que $F(a_1,a_2,...)=(a_2,a_3,...)$ é sobrejetora mas não é injetora.
$\hspace{0.3cm}$ c) Encontrar uma aplicação linear injetora de $P(\mathbb{R})$ em $\mathbb{R}^\infty$.
13) Consideremos uma transformação linear $T:U\rightarrow V$. Se $\dim U > \dim V$, prove que existe um vetor não nulo $u_0 \in U$ tal que $F(u_0)=0$ (vetor nulo de $V$). (Ou seja, $F$ não é injetora).
14) Seja $W=U\oplus V$. Consideremos os operadores lineares de $W$ (projeções sobre $U$ e $V$, respectivamente) dados por $P_1(u+v)=u$ e $P_2(u+v)=v, \forall u+v \in W$. Definido $H:W \rightarrow W$, por $H(w)=P_1(w)-P_2(w),\forall w \in W$. Mostre que $H$ úm isomorfismo so espaço vetorial $W$ nele mesmo, isto é, $H$ é um automorfismo de $W$.
Tome $W=\mathbb{R}^2$, $U=[(1,1)]$, $V=[(1,-1)]$ e represente geometricamente $U$, $V$, $W$, $P_1$, $P_2$ e $H$.
15) Provar que $\mathbb{R}^2$ é isomorfo a qualquer subespaço de dimensão 2 do $\mathbb{R}^3$.
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segunda-feira, 19 de dezembro de 2016
Carlos Callioli - Transformações Lineares
1) Quais das seguintes aplicações de $\mathbb{R}^3$ em $\mathbb{R}^3$ são operadores lineares?
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ F_1(x,y,z)=(x-y,x+y,0)$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ F_2(x,y,z)=(2x-y+z,0,0)$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ F_3(x,y,z)=(x,x,x)$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ F_4(x,y,z)=(2x^2+3y,x,z)$.
2) Seja $F:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ um operador linear assim definido na base canônica: $F(1,0,0)=(2,3,1), \ F(0,1,0)=(5,2,7)$ e $F(0,0,1)=(-2,0,7)$. Determinar $F(x,y,z)$, onde $(x,y,z)$ é um vetor genérico do $\mathbb{R}^3$ e mostrar que $F$ é um operador linear.
3) Consideremos o espaço vetorial $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{C}$ e seja $F:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ tal que $F(z)=\bar{z}$, $\forall z \in \mathbb{C}$. Mostre que $F$ é um operador linear. Se tivéssemos considerado o espaço vetorial $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{C}$, seria ainda $F$ um operador linear?
4) Verifique se são operadores lineares no espaço $P_n(\mathbb{R})$:
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ F:P_n(\mathbb{R}) \rightarrow P_n(\mathbb{R})$ tal que $F(f(t))=tf'(t)$ , $\forall f(t) \in P_n(\mathbb{R})$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ F:P_n(\mathbb{R}) \rightarrow P_n(\mathbb{R})$ tal que $F(f(t))=f'(t)+t^2f''(t)$ , $\forall f(t) \in P_n(\mathbb{R})$.
5) Existe um operador linear $F:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ tal que $F(1,1,1)=(1,2,3), \ F(1,2,3)=(1,4,9)$ e $F(2,3,4)=(1,8,27)$? Justifique a sua resposta.
6) Seja $u=(x,y,z,t)$ é um vetor genérico do $\mathbb{R}^4$. Quais das aplicações definidas abaixo são operadores lineares do $\mathbb{R}^4$?
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ F(u)=u+(1,0,1,0)$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ F(u)=(1,0,1,1)$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ F(u)=(x,y-z,y+z,x+t)$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ F(u)=(\cos x,y,z,t)$.
7) Sejan $U$ e $V$ subespaços de $W$ tais que $W=U \oplus V$. Sejam $P_1$ e $P_2$ aplicações de $W$ em $W$ tais que para todo $w=u+v$ de $W$ (com $u\in U$ e $v\in V$) associam, respectivamente, $u$ e $v$, ou seja, $P_1(w)=u$ e $P_2(w)=v$. Mostrar que $P_1$ e $P_2$ são lineares.
8) Seja $F$ um operador linear em $\mathbb{R}^2$ tal que $F(1,0)=(2,1)$ e $F(0,1)=(1,4)$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Determinar $F(2,4)$;
$\hspace{0.3cm}$ b) Determinar $(x,y)$ em $\mathbb{R}^2$ tal que $F(x,y)=(2,3)$.
$\hspace{0.3cm}$ c) Prove que $F$ é injetor e sobrejetor (bijetor).
9) Seja $A$ uma matriz fixa de $M_n(\mathbb{R})$. Mostrar que $F:M_n(\mathbb{R}) \rightarrow M_n(\mathbb{R})$ dada por $F(X)=XA-AX$, $\forall x \in M_n(\mathbb{R})$, é linear. Se $A=\lambda I_n$, com $\lambda \in \mathbb{R}$, o que é $F$?
10) Seja $F:U \rightarrow V$ uma transformação linear com a seguinte propriedade: se $\{u_1, \dots, u_n\}$ é uma base de $U$, então $\{F(u_1), \dots, F(u_n)\}$ é linearmente dependente em $V$. Provar que $F$ é injetora.
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$\hspace{0.3cm}$ a)$\ F_1(x,y,z)=(x-y,x+y,0)$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ F_2(x,y,z)=(2x-y+z,0,0)$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ F_3(x,y,z)=(x,x,x)$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ F_4(x,y,z)=(2x^2+3y,x,z)$.
2) Seja $F:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ um operador linear assim definido na base canônica: $F(1,0,0)=(2,3,1), \ F(0,1,0)=(5,2,7)$ e $F(0,0,1)=(-2,0,7)$. Determinar $F(x,y,z)$, onde $(x,y,z)$ é um vetor genérico do $\mathbb{R}^3$ e mostrar que $F$ é um operador linear.
3) Consideremos o espaço vetorial $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{C}$ e seja $F:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ tal que $F(z)=\bar{z}$, $\forall z \in \mathbb{C}$. Mostre que $F$ é um operador linear. Se tivéssemos considerado o espaço vetorial $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{C}$, seria ainda $F$ um operador linear?
4) Verifique se são operadores lineares no espaço $P_n(\mathbb{R})$:
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ F:P_n(\mathbb{R}) \rightarrow P_n(\mathbb{R})$ tal que $F(f(t))=tf'(t)$ , $\forall f(t) \in P_n(\mathbb{R})$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ F:P_n(\mathbb{R}) \rightarrow P_n(\mathbb{R})$ tal que $F(f(t))=f'(t)+t^2f''(t)$ , $\forall f(t) \in P_n(\mathbb{R})$.
5) Existe um operador linear $F:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ tal que $F(1,1,1)=(1,2,3), \ F(1,2,3)=(1,4,9)$ e $F(2,3,4)=(1,8,27)$? Justifique a sua resposta.
6) Seja $u=(x,y,z,t)$ é um vetor genérico do $\mathbb{R}^4$. Quais das aplicações definidas abaixo são operadores lineares do $\mathbb{R}^4$?
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ F(u)=u+(1,0,1,0)$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ F(u)=(1,0,1,1)$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ F(u)=(x,y-z,y+z,x+t)$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ F(u)=(\cos x,y,z,t)$.
7) Sejan $U$ e $V$ subespaços de $W$ tais que $W=U \oplus V$. Sejam $P_1$ e $P_2$ aplicações de $W$ em $W$ tais que para todo $w=u+v$ de $W$ (com $u\in U$ e $v\in V$) associam, respectivamente, $u$ e $v$, ou seja, $P_1(w)=u$ e $P_2(w)=v$. Mostrar que $P_1$ e $P_2$ são lineares.
8) Seja $F$ um operador linear em $\mathbb{R}^2$ tal que $F(1,0)=(2,1)$ e $F(0,1)=(1,4)$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Determinar $F(2,4)$;
$\hspace{0.3cm}$ b) Determinar $(x,y)$ em $\mathbb{R}^2$ tal que $F(x,y)=(2,3)$.
$\hspace{0.3cm}$ c) Prove que $F$ é injetor e sobrejetor (bijetor).
9) Seja $A$ uma matriz fixa de $M_n(\mathbb{R})$. Mostrar que $F:M_n(\mathbb{R}) \rightarrow M_n(\mathbb{R})$ dada por $F(X)=XA-AX$, $\forall x \in M_n(\mathbb{R})$, é linear. Se $A=\lambda I_n$, com $\lambda \in \mathbb{R}$, o que é $F$?
10) Seja $F:U \rightarrow V$ uma transformação linear com a seguinte propriedade: se $\{u_1, \dots, u_n\}$ é uma base de $U$, então $\{F(u_1), \dots, F(u_n)\}$ é linearmente dependente em $V$. Provar que $F$ é injetora.
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quinta-feira, 8 de dezembro de 2016
Cálculo - Volumes 1 e 2 (Howard Anton; Irl C. Bivens; Stephen L. Davis)
Arquivo em inglês de todos os capítulos dos dois volumes
http://www.mediafire.com/file/z1hdzb6ke87q1qo/Instructors_Solution_Manual.zip
quarta-feira, 7 de dezembro de 2016
Guidorizzi Vol 4 Seção 10.5 (Equações de Bernoulli)
1) Resolva as equações de Bernoulli.
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ \dfrac{dy}{dx}=5y-\dfrac{4x}{y}$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ v\dfrac{dv}{dx}=v^2-e^{2x}v^3$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{x}{t}-\sqrt{x}, \ t\geq 0$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ y'=y-y^3$.
2) Há um modelo para variação populacional em que se supõe que a taxa de variação da população no instante $t$ seja proporcional à população neste instante, com coeficiente de proporcionalidade $\lambda=\alpha-\beta$, sendo $\alpha$ o coeficiente de natalidade e $\beta$ o de mortalidade. Desse modo, a variação da população $p=p(t)$ é regida pela equação linear $\dfrac{dy}{dt}=\lambda p$. Suponha que a população no instante $t=0$ seja $p_0$.
$\hspace{0.3cm}$ a) O que acontece com a população se $\alpha=\beta$?.
$\hspace{0.3cm}$ b) Sendo $\alpha\neq\beta$?, determine a população no instante $t$. O que acontecerá com a população
$\hspace{0.7cm}$ se $\alpha>\beta$? E se $\alpha<\beta$?
3) Considerando fatores inibidores para a variação da população, foi proposta uma modificação para o modelo do exercício anterior, onde se supõe então um nível máximo $\gamma= \lim_{t\to \infty}p(t)$ que a população possa atingir e que há um fator inibidor proporcional ao quadrado da população e com coeficiente $\epsilon=\dfrac{\lambda}{\gamma}$. Então, neste modelo, a variação da população é regida pela equação de Bernoulli $\dfrac{dp}{dt}=\lambda p-\epsilon p^2$, onde se supõe $\lambda>0$. Suponha que a população no instante $t=0$ seja $p_0$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Resolva a equação.
$\hspace{0.3cm}$ b) Supondo $p_0<\gamma$, para que valor de $p$ a taxa de variação $\dfrac{dp}{dt}$ é máxima? Qual o valor
$\hspace{0.7cm}$ máximo para esta taxa de variação?.
$\hspace{0.3cm}$ c) Em que instante $t$ o valor da taxa de variação é máximo?
4) Um outro modelo para a variação populacional e dado, também, por uma equação de Bernoulli é $\dfrac{dp}{dt}=\lambda p-\epsilon p^{\alpha}, \alpha>1$ e $\epsilon=\dfrac{\lambda}{\gamma^{\alpha-1}}$, onde se supõe que $\gamma= \lim_{t\to \infty}p(t)$ é o valor máximo para a população. Supondo $p(0)=p_0$, resolva a equação.
5) (Equação de von Bertalanffy) A equação de Bernoulli $\dfrac{dp}{dt}=\alpha p^{2/3}-\beta p$ é um modelo usado para a variação do peso $p=p(t)$ de uma espécie de peixe, onde $\alpha$ e $\beta$ são constantes positivas e que dependem da espécie em estudo. Suponha $p(0)=0$. (O peixe ao nascer é tão pequeno que o seu peso é quase zero.) Resolva a equação. Esboce o gráfico da solução destacando o intervalo onde o peso está variando a taxa crescente e aquele em que o peso está variando a taxa decrescente. Interprete os resultados.
http://produto.mercadolivre.com.br/MLB-868291952-exercicios-resolvidos-guidorizzi-vol-4-seco-105-_JM
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ \dfrac{dy}{dx}=5y-\dfrac{4x}{y}$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ v\dfrac{dv}{dx}=v^2-e^{2x}v^3$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{x}{t}-\sqrt{x}, \ t\geq 0$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ y'=y-y^3$.
2) Há um modelo para variação populacional em que se supõe que a taxa de variação da população no instante $t$ seja proporcional à população neste instante, com coeficiente de proporcionalidade $\lambda=\alpha-\beta$, sendo $\alpha$ o coeficiente de natalidade e $\beta$ o de mortalidade. Desse modo, a variação da população $p=p(t)$ é regida pela equação linear $\dfrac{dy}{dt}=\lambda p$. Suponha que a população no instante $t=0$ seja $p_0$.
$\hspace{0.3cm}$ a) O que acontece com a população se $\alpha=\beta$?.
$\hspace{0.3cm}$ b) Sendo $\alpha\neq\beta$?, determine a população no instante $t$. O que acontecerá com a população
$\hspace{0.7cm}$ se $\alpha>\beta$? E se $\alpha<\beta$?
3) Considerando fatores inibidores para a variação da população, foi proposta uma modificação para o modelo do exercício anterior, onde se supõe então um nível máximo $\gamma= \lim_{t\to \infty}p(t)$ que a população possa atingir e que há um fator inibidor proporcional ao quadrado da população e com coeficiente $\epsilon=\dfrac{\lambda}{\gamma}$. Então, neste modelo, a variação da população é regida pela equação de Bernoulli $\dfrac{dp}{dt}=\lambda p-\epsilon p^2$, onde se supõe $\lambda>0$. Suponha que a população no instante $t=0$ seja $p_0$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Resolva a equação.
$\hspace{0.3cm}$ b) Supondo $p_0<\gamma$, para que valor de $p$ a taxa de variação $\dfrac{dp}{dt}$ é máxima? Qual o valor
$\hspace{0.7cm}$ máximo para esta taxa de variação?.
$\hspace{0.3cm}$ c) Em que instante $t$ o valor da taxa de variação é máximo?
4) Um outro modelo para a variação populacional e dado, também, por uma equação de Bernoulli é $\dfrac{dp}{dt}=\lambda p-\epsilon p^{\alpha}, \alpha>1$ e $\epsilon=\dfrac{\lambda}{\gamma^{\alpha-1}}$, onde se supõe que $\gamma= \lim_{t\to \infty}p(t)$ é o valor máximo para a população. Supondo $p(0)=p_0$, resolva a equação.
5) (Equação de von Bertalanffy) A equação de Bernoulli $\dfrac{dp}{dt}=\alpha p^{2/3}-\beta p$ é um modelo usado para a variação do peso $p=p(t)$ de uma espécie de peixe, onde $\alpha$ e $\beta$ são constantes positivas e que dependem da espécie em estudo. Suponha $p(0)=0$. (O peixe ao nascer é tão pequeno que o seu peso é quase zero.) Resolva a equação. Esboce o gráfico da solução destacando o intervalo onde o peso está variando a taxa crescente e aquele em que o peso está variando a taxa decrescente. Interprete os resultados.
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Guidorizzi Vol 1 Seção 11.6 (Cálculo de áreas)
Nos Exercícios de 1 a 22, desenhe o conjunto A dado e calcule a área.
1) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=1$, $x=3$, pelo eixo $Ox$ e pelo gráfico de $y=x^3$. $\\$
2) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=1$, $x=4$, $y=0$ e pelo gráfico de $y=\sqrt{x}$. 3) A é o conjunto de todos os $(x,y)$ tais que $x^2-1 \leq y \leq 0$.
4) A é o conjunto de todos os $(x,y)$ tais que $0 \leq y \leq 4-x^2$.
5) A é o conjunto de todos os $(x,y)$ tais que $0 \leq y \leq |sen \ x|$, com $0 \leq x \leq 2\pi$.
6) A é a região do plano compreendida entre o eixo $0x$ e o gráfico de $y=x^2-x$, com $0 \leq x \leq 2$.
7) A é o conjunto do plano limitado pela reta $y=0$ e pelo gráfico de $y=3-2x-x^2$, com $-1\leq x \leq 2$.
8) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=-1$, $x=2$, $y=0$ e pelo gráfico de $y=x^2+2x+5$.
9) A é o conjunto do plano limitado pelo eixo $0x$, pelo gráfico de $y=x^3-x$, $-1 \leq x \leq 2$.
10) A é o conjunto do plano limitado pela reta $y=0$ e pelo gráfico de $y=x^3-x$, com $0 \leq x \leq 2$.
11) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=0$, $x=\pi$, $y=0$ e pelo gráfico de $y=\cos x$.
12) A é o conjunto de todos $(x,y)$ tais que $x=0$ e $x^3 \leq y \leq x$.
13) A é o conjunto do plano limitado pela reta $y=x$, pelo gráfico de $y=x^3$, com $-1 \leq x \leq 1$.
14) $A=\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leq x \leq 1 \ e \ \sqrt{x} \leq y \leq 3\}$.
15) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=0$, $x=\dfrac{\pi}{2}$ e pelos gráficos de $y= \textrm{sen} x$ e $y=\cos x$.
16) A é o conjunto de todos os pontos $(x, y)$ tais que $x^2+1 \leq y \leq x+1$.
17) A é o conjunto de todos os pontos $(x, y)$ tais que $x^2-1 \leq y \leq x+1$.
18) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=0$, $x=\dfrac{\pi}{2}$ e pelos gráficos de $y=\cos x$ e $y=1-\cos x$.
19) $A=\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x \geq 0 \ e \ x^3-x \leq y \leq -x^2+5x\}$.
20) A é o conjunto limitado pelos gráficos de $y=x^3-x$, $y= \textrm{sen}\pi x$, com $-1\leq x \leq 1$.
21) A é o conjunto de todos os pontos $(x, y)$ tais que $x\geq 0$ e $-x \leq y \leq x-x^2$.
22) A é o conjunto de todos $(x, y)$ tais que $x>0$ e $\dfrac{1}{x^2}\leq y \leq 5-4x^2$.
23) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $x$ com velocidade $v(t)=2t-3$, $t\geq 0$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Calcule o deslocamento entre os instantes $t=1$ e $t=3$.
$\hspace{0.3cm}$ b) Qual o espaço percorrido entre os instantes $t=1$ e $t=3$?.
$\hspace{0.3cm}$ c) Descreva o movimento realizado pela partícula entre os instantes $t=1$ e $t=3$?.
24) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $0x$ com velocidade $v(t)=\textrm{sen}\ 2t$, $t\geq 0$. Calcule o espaço percorrido entre os instantes $t=0$ e $t=\pi$.
25) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $0x$ com velocidade $v(t)=-t^2+t$, $t\geq 0$. Calcule o espaço percorrido entre os instantes $t=0$ e $t=2$?.
26) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $0x$ com velocidade $v(t)=t^2-2t-3$, $t\geq 0$. Calcule o espaço percorrido entre os instantes $t=0$ e $t=4$?.
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1) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=1$, $x=3$, pelo eixo $Ox$ e pelo gráfico de $y=x^3$. $\\$
2) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=1$, $x=4$, $y=0$ e pelo gráfico de $y=\sqrt{x}$. 3) A é o conjunto de todos os $(x,y)$ tais que $x^2-1 \leq y \leq 0$.
4) A é o conjunto de todos os $(x,y)$ tais que $0 \leq y \leq 4-x^2$.
5) A é o conjunto de todos os $(x,y)$ tais que $0 \leq y \leq |sen \ x|$, com $0 \leq x \leq 2\pi$.
6) A é a região do plano compreendida entre o eixo $0x$ e o gráfico de $y=x^2-x$, com $0 \leq x \leq 2$.
7) A é o conjunto do plano limitado pela reta $y=0$ e pelo gráfico de $y=3-2x-x^2$, com $-1\leq x \leq 2$.
8) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=-1$, $x=2$, $y=0$ e pelo gráfico de $y=x^2+2x+5$.
9) A é o conjunto do plano limitado pelo eixo $0x$, pelo gráfico de $y=x^3-x$, $-1 \leq x \leq 2$.
10) A é o conjunto do plano limitado pela reta $y=0$ e pelo gráfico de $y=x^3-x$, com $0 \leq x \leq 2$.
11) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=0$, $x=\pi$, $y=0$ e pelo gráfico de $y=\cos x$.
12) A é o conjunto de todos $(x,y)$ tais que $x=0$ e $x^3 \leq y \leq x$.
13) A é o conjunto do plano limitado pela reta $y=x$, pelo gráfico de $y=x^3$, com $-1 \leq x \leq 1$.
14) $A=\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leq x \leq 1 \ e \ \sqrt{x} \leq y \leq 3\}$.
15) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=0$, $x=\dfrac{\pi}{2}$ e pelos gráficos de $y= \textrm{sen} x$ e $y=\cos x$.
16) A é o conjunto de todos os pontos $(x, y)$ tais que $x^2+1 \leq y \leq x+1$.
17) A é o conjunto de todos os pontos $(x, y)$ tais que $x^2-1 \leq y \leq x+1$.
18) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=0$, $x=\dfrac{\pi}{2}$ e pelos gráficos de $y=\cos x$ e $y=1-\cos x$.
19) $A=\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x \geq 0 \ e \ x^3-x \leq y \leq -x^2+5x\}$.
20) A é o conjunto limitado pelos gráficos de $y=x^3-x$, $y= \textrm{sen}\pi x$, com $-1\leq x \leq 1$.
21) A é o conjunto de todos os pontos $(x, y)$ tais que $x\geq 0$ e $-x \leq y \leq x-x^2$.
22) A é o conjunto de todos $(x, y)$ tais que $x>0$ e $\dfrac{1}{x^2}\leq y \leq 5-4x^2$.
23) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $x$ com velocidade $v(t)=2t-3$, $t\geq 0$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Calcule o deslocamento entre os instantes $t=1$ e $t=3$.
$\hspace{0.3cm}$ b) Qual o espaço percorrido entre os instantes $t=1$ e $t=3$?.
$\hspace{0.3cm}$ c) Descreva o movimento realizado pela partícula entre os instantes $t=1$ e $t=3$?.
24) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $0x$ com velocidade $v(t)=\textrm{sen}\ 2t$, $t\geq 0$. Calcule o espaço percorrido entre os instantes $t=0$ e $t=\pi$.
25) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $0x$ com velocidade $v(t)=-t^2+t$, $t\geq 0$. Calcule o espaço percorrido entre os instantes $t=0$ e $t=2$?.
26) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $0x$ com velocidade $v(t)=t^2-2t-3$, $t\geq 0$. Calcule o espaço percorrido entre os instantes $t=0$ e $t=4$?.
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