1) Quais das seguintes aplicações de $\mathbb{R}^3$ em $\mathbb{R}^3$ são operadores lineares?
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ F_1(x,y,z)=(x-y,x+y,0)$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ F_2(x,y,z)=(2x-y+z,0,0)$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ F_3(x,y,z)=(x,x,x)$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ F_4(x,y,z)=(2x^2+3y,x,z)$.
2) Seja $F:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ um operador linear assim definido na base canônica: $F(1,0,0)=(2,3,1), \ F(0,1,0)=(5,2,7)$ e $F(0,0,1)=(-2,0,7)$. Determinar $F(x,y,z)$, onde $(x,y,z)$ é um vetor genérico do $\mathbb{R}^3$ e mostrar que $F$ é um operador linear.
3) Consideremos o espaço vetorial $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{C}$ e seja $F:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ tal que $F(z)=\bar{z}$, $\forall z \in \mathbb{C}$. Mostre que $F$ é um operador linear. Se tivéssemos considerado o espaço vetorial $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{C}$, seria ainda $F$ um operador linear?
4) Verifique se são operadores lineares no espaço $P_n(\mathbb{R})$:
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ F:P_n(\mathbb{R}) \rightarrow P_n(\mathbb{R})$ tal que $F(f(t))=tf'(t)$ , $\forall f(t) \in P_n(\mathbb{R})$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ F:P_n(\mathbb{R}) \rightarrow P_n(\mathbb{R})$ tal que $F(f(t))=f'(t)+t^2f''(t)$ , $\forall f(t) \in P_n(\mathbb{R})$.
5) Existe um operador linear $F:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ tal que $F(1,1,1)=(1,2,3), \ F(1,2,3)=(1,4,9)$ e $F(2,3,4)=(1,8,27)$? Justifique a sua resposta.
6) Seja $u=(x,y,z,t)$ é um vetor genérico do $\mathbb{R}^4$. Quais das aplicações definidas abaixo são operadores lineares do $\mathbb{R}^4$?
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ F(u)=u+(1,0,1,0)$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ F(u)=(1,0,1,1)$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ F(u)=(x,y-z,y+z,x+t)$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ F(u)=(\cos x,y,z,t)$.
7) Sejan $U$ e $V$ subespaços de $W$ tais que $W=U \oplus V$. Sejam $P_1$ e $P_2$ aplicações de $W$ em $W$ tais que para todo $w=u+v$ de $W$ (com $u\in U$ e $v\in V$) associam, respectivamente, $u$ e $v$, ou seja, $P_1(w)=u$ e $P_2(w)=v$. Mostrar que $P_1$ e $P_2$ são lineares.
8) Seja $F$ um operador linear em $\mathbb{R}^2$ tal que $F(1,0)=(2,1)$ e $F(0,1)=(1,4)$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Determinar $F(2,4)$;
$\hspace{0.3cm}$ b) Determinar $(x,y)$ em $\mathbb{R}^2$ tal que $F(x,y)=(2,3)$.
$\hspace{0.3cm}$ c) Prove que $F$ é injetor e sobrejetor (bijetor).
9) Seja $A$ uma matriz fixa de $M_n(\mathbb{R})$. Mostrar que $F:M_n(\mathbb{R}) \rightarrow M_n(\mathbb{R})$ dada por $F(X)=XA-AX$, $\forall x \in M_n(\mathbb{R})$, é linear. Se $A=\lambda I_n$, com $\lambda \in \mathbb{R}$, o que é $F$?
10) Seja $F:U \rightarrow V$ uma transformação linear com a seguinte propriedade: se $\{u_1, \dots, u_n\}$ é uma base de $U$, então $\{F(u_1), \dots, F(u_n)\}$ é linearmente dependente em $V$. Provar que $F$ é injetora.
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segunda-feira, 19 de dezembro de 2016
quinta-feira, 8 de dezembro de 2016
Cálculo - Volumes 1 e 2 (Howard Anton; Irl C. Bivens; Stephen L. Davis)
Arquivo em inglês de todos os capítulos dos dois volumes
http://www.mediafire.com/file/z1hdzb6ke87q1qo/Instructors_Solution_Manual.zip
quarta-feira, 7 de dezembro de 2016
Guidorizzi Vol 4 Seção 10.5 (Equações de Bernoulli)
1) Resolva as equações de Bernoulli.
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ \dfrac{dy}{dx}=5y-\dfrac{4x}{y}$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ v\dfrac{dv}{dx}=v^2-e^{2x}v^3$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{x}{t}-\sqrt{x}, \ t\geq 0$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ y'=y-y^3$.
2) Há um modelo para variação populacional em que se supõe que a taxa de variação da população no instante $t$ seja proporcional à população neste instante, com coeficiente de proporcionalidade $\lambda=\alpha-\beta$, sendo $\alpha$ o coeficiente de natalidade e $\beta$ o de mortalidade. Desse modo, a variação da população $p=p(t)$ é regida pela equação linear $\dfrac{dy}{dt}=\lambda p$. Suponha que a população no instante $t=0$ seja $p_0$.
$\hspace{0.3cm}$ a) O que acontece com a população se $\alpha=\beta$?.
$\hspace{0.3cm}$ b) Sendo $\alpha\neq\beta$?, determine a população no instante $t$. O que acontecerá com a população
$\hspace{0.7cm}$ se $\alpha>\beta$? E se $\alpha<\beta$?
3) Considerando fatores inibidores para a variação da população, foi proposta uma modificação para o modelo do exercício anterior, onde se supõe então um nível máximo $\gamma= \lim_{t\to \infty}p(t)$ que a população possa atingir e que há um fator inibidor proporcional ao quadrado da população e com coeficiente $\epsilon=\dfrac{\lambda}{\gamma}$. Então, neste modelo, a variação da população é regida pela equação de Bernoulli $\dfrac{dp}{dt}=\lambda p-\epsilon p^2$, onde se supõe $\lambda>0$. Suponha que a população no instante $t=0$ seja $p_0$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Resolva a equação.
$\hspace{0.3cm}$ b) Supondo $p_0<\gamma$, para que valor de $p$ a taxa de variação $\dfrac{dp}{dt}$ é máxima? Qual o valor
$\hspace{0.7cm}$ máximo para esta taxa de variação?.
$\hspace{0.3cm}$ c) Em que instante $t$ o valor da taxa de variação é máximo?
4) Um outro modelo para a variação populacional e dado, também, por uma equação de Bernoulli é $\dfrac{dp}{dt}=\lambda p-\epsilon p^{\alpha}, \alpha>1$ e $\epsilon=\dfrac{\lambda}{\gamma^{\alpha-1}}$, onde se supõe que $\gamma= \lim_{t\to \infty}p(t)$ é o valor máximo para a população. Supondo $p(0)=p_0$, resolva a equação.
5) (Equação de von Bertalanffy) A equação de Bernoulli $\dfrac{dp}{dt}=\alpha p^{2/3}-\beta p$ é um modelo usado para a variação do peso $p=p(t)$ de uma espécie de peixe, onde $\alpha$ e $\beta$ são constantes positivas e que dependem da espécie em estudo. Suponha $p(0)=0$. (O peixe ao nascer é tão pequeno que o seu peso é quase zero.) Resolva a equação. Esboce o gráfico da solução destacando o intervalo onde o peso está variando a taxa crescente e aquele em que o peso está variando a taxa decrescente. Interprete os resultados.
http://produto.mercadolivre.com.br/MLB-868291952-exercicios-resolvidos-guidorizzi-vol-4-seco-105-_JM
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ \dfrac{dy}{dx}=5y-\dfrac{4x}{y}$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ v\dfrac{dv}{dx}=v^2-e^{2x}v^3$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{x}{t}-\sqrt{x}, \ t\geq 0$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ y'=y-y^3$.
2) Há um modelo para variação populacional em que se supõe que a taxa de variação da população no instante $t$ seja proporcional à população neste instante, com coeficiente de proporcionalidade $\lambda=\alpha-\beta$, sendo $\alpha$ o coeficiente de natalidade e $\beta$ o de mortalidade. Desse modo, a variação da população $p=p(t)$ é regida pela equação linear $\dfrac{dy}{dt}=\lambda p$. Suponha que a população no instante $t=0$ seja $p_0$.
$\hspace{0.3cm}$ a) O que acontece com a população se $\alpha=\beta$?.
$\hspace{0.3cm}$ b) Sendo $\alpha\neq\beta$?, determine a população no instante $t$. O que acontecerá com a população
$\hspace{0.7cm}$ se $\alpha>\beta$? E se $\alpha<\beta$?
3) Considerando fatores inibidores para a variação da população, foi proposta uma modificação para o modelo do exercício anterior, onde se supõe então um nível máximo $\gamma= \lim_{t\to \infty}p(t)$ que a população possa atingir e que há um fator inibidor proporcional ao quadrado da população e com coeficiente $\epsilon=\dfrac{\lambda}{\gamma}$. Então, neste modelo, a variação da população é regida pela equação de Bernoulli $\dfrac{dp}{dt}=\lambda p-\epsilon p^2$, onde se supõe $\lambda>0$. Suponha que a população no instante $t=0$ seja $p_0$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Resolva a equação.
$\hspace{0.3cm}$ b) Supondo $p_0<\gamma$, para que valor de $p$ a taxa de variação $\dfrac{dp}{dt}$ é máxima? Qual o valor
$\hspace{0.7cm}$ máximo para esta taxa de variação?.
$\hspace{0.3cm}$ c) Em que instante $t$ o valor da taxa de variação é máximo?
4) Um outro modelo para a variação populacional e dado, também, por uma equação de Bernoulli é $\dfrac{dp}{dt}=\lambda p-\epsilon p^{\alpha}, \alpha>1$ e $\epsilon=\dfrac{\lambda}{\gamma^{\alpha-1}}$, onde se supõe que $\gamma= \lim_{t\to \infty}p(t)$ é o valor máximo para a população. Supondo $p(0)=p_0$, resolva a equação.
5) (Equação de von Bertalanffy) A equação de Bernoulli $\dfrac{dp}{dt}=\alpha p^{2/3}-\beta p$ é um modelo usado para a variação do peso $p=p(t)$ de uma espécie de peixe, onde $\alpha$ e $\beta$ são constantes positivas e que dependem da espécie em estudo. Suponha $p(0)=0$. (O peixe ao nascer é tão pequeno que o seu peso é quase zero.) Resolva a equação. Esboce o gráfico da solução destacando o intervalo onde o peso está variando a taxa crescente e aquele em que o peso está variando a taxa decrescente. Interprete os resultados.
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Guidorizzi Vol 1 Seção 11.6 (Cálculo de áreas)
Nos Exercícios de 1 a 22, desenhe o conjunto A dado e calcule a área.
1) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=1$, $x=3$, pelo eixo $Ox$ e pelo gráfico de $y=x^3$. $\\$
2) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=1$, $x=4$, $y=0$ e pelo gráfico de $y=\sqrt{x}$. 3) A é o conjunto de todos os $(x,y)$ tais que $x^2-1 \leq y \leq 0$.
4) A é o conjunto de todos os $(x,y)$ tais que $0 \leq y \leq 4-x^2$.
5) A é o conjunto de todos os $(x,y)$ tais que $0 \leq y \leq |sen \ x|$, com $0 \leq x \leq 2\pi$.
6) A é a região do plano compreendida entre o eixo $0x$ e o gráfico de $y=x^2-x$, com $0 \leq x \leq 2$.
7) A é o conjunto do plano limitado pela reta $y=0$ e pelo gráfico de $y=3-2x-x^2$, com $-1\leq x \leq 2$.
8) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=-1$, $x=2$, $y=0$ e pelo gráfico de $y=x^2+2x+5$.
9) A é o conjunto do plano limitado pelo eixo $0x$, pelo gráfico de $y=x^3-x$, $-1 \leq x \leq 2$.
10) A é o conjunto do plano limitado pela reta $y=0$ e pelo gráfico de $y=x^3-x$, com $0 \leq x \leq 2$.
11) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=0$, $x=\pi$, $y=0$ e pelo gráfico de $y=\cos x$.
12) A é o conjunto de todos $(x,y)$ tais que $x=0$ e $x^3 \leq y \leq x$.
13) A é o conjunto do plano limitado pela reta $y=x$, pelo gráfico de $y=x^3$, com $-1 \leq x \leq 1$.
14) $A=\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leq x \leq 1 \ e \ \sqrt{x} \leq y \leq 3\}$.
15) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=0$, $x=\dfrac{\pi}{2}$ e pelos gráficos de $y= \textrm{sen} x$ e $y=\cos x$.
16) A é o conjunto de todos os pontos $(x, y)$ tais que $x^2+1 \leq y \leq x+1$.
17) A é o conjunto de todos os pontos $(x, y)$ tais que $x^2-1 \leq y \leq x+1$.
18) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=0$, $x=\dfrac{\pi}{2}$ e pelos gráficos de $y=\cos x$ e $y=1-\cos x$.
19) $A=\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x \geq 0 \ e \ x^3-x \leq y \leq -x^2+5x\}$.
20) A é o conjunto limitado pelos gráficos de $y=x^3-x$, $y= \textrm{sen}\pi x$, com $-1\leq x \leq 1$.
21) A é o conjunto de todos os pontos $(x, y)$ tais que $x\geq 0$ e $-x \leq y \leq x-x^2$.
22) A é o conjunto de todos $(x, y)$ tais que $x>0$ e $\dfrac{1}{x^2}\leq y \leq 5-4x^2$.
23) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $x$ com velocidade $v(t)=2t-3$, $t\geq 0$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Calcule o deslocamento entre os instantes $t=1$ e $t=3$.
$\hspace{0.3cm}$ b) Qual o espaço percorrido entre os instantes $t=1$ e $t=3$?.
$\hspace{0.3cm}$ c) Descreva o movimento realizado pela partícula entre os instantes $t=1$ e $t=3$?.
24) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $0x$ com velocidade $v(t)=\textrm{sen}\ 2t$, $t\geq 0$. Calcule o espaço percorrido entre os instantes $t=0$ e $t=\pi$.
25) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $0x$ com velocidade $v(t)=-t^2+t$, $t\geq 0$. Calcule o espaço percorrido entre os instantes $t=0$ e $t=2$?.
26) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $0x$ com velocidade $v(t)=t^2-2t-3$, $t\geq 0$. Calcule o espaço percorrido entre os instantes $t=0$ e $t=4$?.
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1) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=1$, $x=3$, pelo eixo $Ox$ e pelo gráfico de $y=x^3$. $\\$
2) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=1$, $x=4$, $y=0$ e pelo gráfico de $y=\sqrt{x}$. 3) A é o conjunto de todos os $(x,y)$ tais que $x^2-1 \leq y \leq 0$.
4) A é o conjunto de todos os $(x,y)$ tais que $0 \leq y \leq 4-x^2$.
5) A é o conjunto de todos os $(x,y)$ tais que $0 \leq y \leq |sen \ x|$, com $0 \leq x \leq 2\pi$.
6) A é a região do plano compreendida entre o eixo $0x$ e o gráfico de $y=x^2-x$, com $0 \leq x \leq 2$.
7) A é o conjunto do plano limitado pela reta $y=0$ e pelo gráfico de $y=3-2x-x^2$, com $-1\leq x \leq 2$.
8) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=-1$, $x=2$, $y=0$ e pelo gráfico de $y=x^2+2x+5$.
9) A é o conjunto do plano limitado pelo eixo $0x$, pelo gráfico de $y=x^3-x$, $-1 \leq x \leq 2$.
10) A é o conjunto do plano limitado pela reta $y=0$ e pelo gráfico de $y=x^3-x$, com $0 \leq x \leq 2$.
11) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=0$, $x=\pi$, $y=0$ e pelo gráfico de $y=\cos x$.
12) A é o conjunto de todos $(x,y)$ tais que $x=0$ e $x^3 \leq y \leq x$.
13) A é o conjunto do plano limitado pela reta $y=x$, pelo gráfico de $y=x^3$, com $-1 \leq x \leq 1$.
14) $A=\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leq x \leq 1 \ e \ \sqrt{x} \leq y \leq 3\}$.
15) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=0$, $x=\dfrac{\pi}{2}$ e pelos gráficos de $y= \textrm{sen} x$ e $y=\cos x$.
16) A é o conjunto de todos os pontos $(x, y)$ tais que $x^2+1 \leq y \leq x+1$.
17) A é o conjunto de todos os pontos $(x, y)$ tais que $x^2-1 \leq y \leq x+1$.
18) A é o conjunto do plano limitado pelas retas $x=0$, $x=\dfrac{\pi}{2}$ e pelos gráficos de $y=\cos x$ e $y=1-\cos x$.
19) $A=\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x \geq 0 \ e \ x^3-x \leq y \leq -x^2+5x\}$.
20) A é o conjunto limitado pelos gráficos de $y=x^3-x$, $y= \textrm{sen}\pi x$, com $-1\leq x \leq 1$.
21) A é o conjunto de todos os pontos $(x, y)$ tais que $x\geq 0$ e $-x \leq y \leq x-x^2$.
22) A é o conjunto de todos $(x, y)$ tais que $x>0$ e $\dfrac{1}{x^2}\leq y \leq 5-4x^2$.
23) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $x$ com velocidade $v(t)=2t-3$, $t\geq 0$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Calcule o deslocamento entre os instantes $t=1$ e $t=3$.
$\hspace{0.3cm}$ b) Qual o espaço percorrido entre os instantes $t=1$ e $t=3$?.
$\hspace{0.3cm}$ c) Descreva o movimento realizado pela partícula entre os instantes $t=1$ e $t=3$?.
24) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $0x$ com velocidade $v(t)=\textrm{sen}\ 2t$, $t\geq 0$. Calcule o espaço percorrido entre os instantes $t=0$ e $t=\pi$.
25) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $0x$ com velocidade $v(t)=-t^2+t$, $t\geq 0$. Calcule o espaço percorrido entre os instantes $t=0$ e $t=2$?.
26) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $0x$ com velocidade $v(t)=t^2-2t-3$, $t\geq 0$. Calcule o espaço percorrido entre os instantes $t=0$ e $t=4$?.
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