Guidorizzi Vol 4 Seção 10.5 (Equações de Bernoulli)

1) Resolva as equações de Bernoulli.
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ \dfrac{dy}{dx}=5y-\dfrac{4x}{y}$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ v\dfrac{dv}{dx}=v^2-e^{2x}v^3$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{x}{t}-\sqrt{x}, \ t\geq 0$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ y'=y-y^3$.

2) Há um modelo para variação populacional em que se supõe que a taxa de variação da população no instante $t$ seja proporcional à população neste instante, com coeficiente de proporcionalidade $\lambda=\alpha-\beta$, sendo $\alpha$ o coeficiente de natalidade e $\beta$ o de mortalidade. Desse modo, a variação da população $p=p(t)$ é regida pela equação linear $\dfrac{dy}{dt}=\lambda p$. Suponha que a população no instante $t=0$ seja $p_0$.
$\hspace{0.3cm}$ a) O que acontece com a população se $\alpha=\beta$?.
$\hspace{0.3cm}$ b) Sendo $\alpha\neq\beta$?, determine a população no instante $t$. O que acontecerá com a população
$\hspace{0.7cm}$ se $\alpha>\beta$? E se $\alpha<\beta$?

3) Considerando fatores inibidores para a variação da população, foi proposta uma modificação para o modelo do exercício anterior, onde se supõe então um nível máximo $\gamma= \lim_{t\to \infty}p(t)$ que a população possa atingir e que há um fator inibidor proporcional ao quadrado da população e com coeficiente $\epsilon=\dfrac{\lambda}{\gamma}$. Então, neste modelo, a variação da população é regida pela equação de Bernoulli $\dfrac{dp}{dt}=\lambda p-\epsilon p^2$, onde se supõe $\lambda>0$. Suponha que a população no instante $t=0$ seja $p_0$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Resolva a equação.
$\hspace{0.3cm}$ b) Supondo $p_0<\gamma$, para que valor de $p$ a taxa de variação $\dfrac{dp}{dt}$ é máxima? Qual o valor
$\hspace{0.7cm}$ máximo para esta taxa de variação?.
$\hspace{0.3cm}$ c) Em que instante $t$ o valor da taxa de variação é máximo?

4) Um outro modelo para a variação populacional e dado, também, por uma equação de Bernoulli é $\dfrac{dp}{dt}=\lambda p-\epsilon p^{\alpha}, \alpha>1$ e $\epsilon=\dfrac{\lambda}{\gamma^{\alpha-1}}$, onde se supõe que $\gamma= \lim_{t\to \infty}p(t)$ é o valor máximo para a população. Supondo $p(0)=p_0$, resolva a equação.

5) (Equação de von Bertalanffy) A equação de Bernoulli $\dfrac{dp}{dt}=\alpha p^{2/3}-\beta p$ é um modelo usado para a variação do peso $p=p(t)$ de uma espécie de peixe, onde $\alpha$ e $\beta$ são constantes positivas e que dependem da espécie em estudo. Suponha $p(0)=0$. (O peixe ao nascer é tão pequeno que o seu peso é quase zero.) Resolva a equação. Esboce o gráfico da solução destacando o intervalo onde o peso está variando a taxa crescente e aquele em que o peso está variando a taxa decrescente. Interprete os resultados.

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