Guidorizzi Vol 3, Seção 6.5 - Integral de Linha relativa ao comprimento de arco

1) Calcule: $\displaystyle\int_\gamma \sqrt[3]{x}\ dx+\dfrac{dy}{1+y^2}$ onde $\gamma$ é a curva
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ \int_{\gamma}(x^2+y^2)\ ds$, onde $\gamma(t)=(t,t)$, $-1\leq t\leq 1$.

$\hspace{0.3cm}$ b)$\ \int_{\gamma}(2xy+y^2)\ ds$, onde $\gamma(t)=(t+1,t-1)$, $0\leq t\leq 1$.

$\hspace{0.3cm}$ c)$\ \int_{\gamma}xyz\ ds$, onde $\gamma(t)=(\cos t,\sin t,t)$, $0\leq t\leq 2\pi$.

2) Calcule a massa do fio $\gamma(t)=(t,2t,3t)$, $0\leq t\leq 1$, cuja densidade linear é $\delta(x,y,z)=x+y+z$.

3) Calcule a massa do fio $\gamma(t)=(\cos t,\sin t,t)$, $0\leq t\leq \pi$, com densidade linear $\delta(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$.

4) Calcule o momento de inércia de um fio homogêneo com a forma de uma circunferência de raio $R$ em torno de um diâmetro.

5) Calcule o momento de inércia do fio $\gamma(t)=(t,2t,3t)$, $0\leq t\leq 1$, cuja densidade linear é $\delta(x,y,z)=x+y+z$, em torno do eixo $Oz$.

6) Calcule o momento de inércia de um fio retilíneo, homogêneo, de comprimento $L$, em torno de um eixo perpendicular ao fio e passando por uma das extremidades do fio.

7) Calcule o momento de inércia do fio $\gamma(t)=(\cos t,\sin t,t)$, $0\leq t\leq \dfrac{\pi}{2}$ em torno do eixo $Ox$.

8) O \textbf{centro de massa} de um fio $\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}^3$ é o ponto $(x_C,y_C,z_C)$ dado por \[ x_C=\dfrac{\int_\gamma x\ dm}{\int_\gamma dm}, \ y_C=\dfrac{\int_\gamma y\ dm}{\int_\gamma dm}, \ z_C=\dfrac{\int_\gamma z\ dm}{\int_\gamma dm} \] onde $dm=\delta(x,y,z)ds$ é o elemento de massa. Calcule o centro de massa do fio homogêneo dado.
$\hspace{0.3cm}$ a)$\gamma(t)=(\cos t,\sin t,t)$, $0\leq t\leq \dfrac{\pi}{2}$.

$\hspace{0.3cm}$ b)$\gamma(t)=(t,t^2,0)$, $-1\leq t\leq 1$.

9) Calcule o centro de massa do fio homogêneo $\gamma(t)=(t,t,t)$, $0\leq t\leq 1$, com densidade linear é $\delta(x,y,z)=xyz$.

10) Seja $\gamma_1:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}^2$ uma curva de classe $C^1$ e seja $f(x,y)$ um campo escalar contínuo na imagem de $\gamma_1$. Seja $\gamma_2:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}^2$ dada por \begin{eqnarray} \gamma_2(t)= \gamma_1(a+b-t). \end{eqnarray} Prove que: \[ \int_{\gamma_1} f(x,y)\ ds=\int_{\gamma_2} f(x,y)\ ds. \] Interprete o resultado. Dê exemplos de curvas satisfazendo $(1)$.

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