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segunda-feira, 7 de maio de 2018

Guidorizzi Vol 3, Seção 6.5 - Integral de Linha relativa ao comprimento de arco

1) Calcule: \displaystyle\int_\gamma \sqrt[3]{x}\ dx+\dfrac{dy}{1+y^2} onde \gamma é a curva
\hspace{0.3cm} a)\ \int_{\gamma}(x^2+y^2)\ ds, onde \gamma(t)=(t,t), -1\leq t\leq 1.

\hspace{0.3cm} b)\ \int_{\gamma}(2xy+y^2)\ ds, onde \gamma(t)=(t+1,t-1), 0\leq t\leq 1.

\hspace{0.3cm} c)\ \int_{\gamma}xyz\ ds, onde \gamma(t)=(\cos t,\sin t,t), 0\leq t\leq 2\pi.

2) Calcule a massa do fio \gamma(t)=(t,2t,3t), 0\leq t\leq 1, cuja densidade linear é \delta(x,y,z)=x+y+z.

3) Calcule a massa do fio \gamma(t)=(\cos t,\sin t,t), 0\leq t\leq \pi, com densidade linear \delta(x,y,z)=x^2+y^2+z^2.

4) Calcule o momento de inércia de um fio homogêneo com a forma de uma circunferência de raio R em torno de um diâmetro.

5) Calcule o momento de inércia do fio \gamma(t)=(t,2t,3t), 0\leq t\leq 1, cuja densidade linear é \delta(x,y,z)=x+y+z, em torno do eixo Oz.

6) Calcule o momento de inércia de um fio retilíneo, homogêneo, de comprimento L, em torno de um eixo perpendicular ao fio e passando por uma das extremidades do fio.

7) Calcule o momento de inércia do fio \gamma(t)=(\cos t,\sin t,t), 0\leq t\leq \dfrac{\pi}{2} em torno do eixo Ox.

8) O \textbf{centro de massa} de um fio \gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}^3 é o ponto (x_C,y_C,z_C) dado por x_C=\dfrac{\int_\gamma x\ dm}{\int_\gamma dm}, \ y_C=\dfrac{\int_\gamma y\ dm}{\int_\gamma dm}, \ z_C=\dfrac{\int_\gamma z\ dm}{\int_\gamma dm}
onde dm=\delta(x,y,z)ds é o elemento de massa. Calcule o centro de massa do fio homogêneo dado.
\hspace{0.3cm} a)\gamma(t)=(\cos t,\sin t,t), 0\leq t\leq \dfrac{\pi}{2}.

\hspace{0.3cm} b)\gamma(t)=(t,t^2,0), -1\leq t\leq 1.

9) Calcule o centro de massa do fio homogêneo \gamma(t)=(t,t,t), 0\leq t\leq 1, com densidade linear é \delta(x,y,z)=xyz.

10) Seja \gamma_1:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}^2 uma curva de classe C^1 e seja f(x,y) um campo escalar contínuo na imagem de \gamma_1. Seja \gamma_2:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}^2 dada por \begin{eqnarray} \gamma_2(t)= \gamma_1(a+b-t). \end{eqnarray}
Prove que: \int_{\gamma_1} f(x,y)\ ds=\int_{\gamma_2} f(x,y)\ ds.
Interprete o resultado. Dê exemplos de curvas satisfazendo (1).

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