Isto é Matemática T01E03 - O bilhar, o dentista e o Teatro São Carlos (l...

Álgebra Linear - Aula 04 - Dependência Linear

Álgebra Linear - Aula 03 - Combinações Lineares

Álgebra Linear - Aula 02 - Subespaços

Álgebra Linear - Aula 01 - Espaços Vetoriais

Guidorizzi Vol 1 Seção 10.1 - Relação Entre Funções Com Derivadas Iguais

1) Seja $f : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, derivável e tal que para todo $x$, $f'(x)=\alpha f(x)$, $\alpha$ constante não nula. Prove que existe uma constante $k$, tal que, para todo $x$, $f(x)=ke^{\alpha x}$.

2) Determine $y=f(x)$, tal que $x \in \mathbb{R}$.
\[ f'(x)=2f(x), \ \ f(0)=1 \] (Sugestão: utilize o Exercício 1.)

3) Uma partícula desloca-se sobre o eixo $0x$, de modo que em cada instante $t$ a velocidade é o dobro da posição $x=x(t)$. Sabe-se que $x(0)=1$. Determine a posição da partícula no instante $t$.

4) A função $y=f(x)$, $x \in \mathbb{R}$, é tal que $f(0)=1$ e $f'(x)=2f(x)$ para todo $x$. Esboce o gráfico de $f$.

5) Seja $y=f(x)$, $x \in \mathbb{R}$, derivável até 2ª ordem e tal que, para todo $x$, $f"(x)+f(x)=0$. Seja $g$ dada por $g(x)= f'(x) \textrm{sen} x - f(x) \cos x$. Prove que $g$ é constante.

6) Seja $y=f(x)$, $x \in \mathbb{R}$, derivável até 2ª ordem e tal que, para todo $x$, $f"(x)+f(x)=0$. Prove que existe uma constante $A$ tal que:
\[ \bigg[\dfrac{f(x)-A \cos x}{\textrm{sen} x}\bigg]'=0 \] para todo $x \in ]0, \pi[$. Conclua que exista outra constante $B$ tal que, para todo $x \in ]0, \pi[$, $f(x)=A \cos x+B\textrm{sen} x$.
(Sugestão: utilize o Exercício 6.)

7) Seja $y=f(x)$, $x \in \mathbb{R}$, derivável até 2ª ordem e tal que, para todo $x$, $f"(x)-f(x)=0$.

$\hspace{0.3cm}$ a) Prove que $g(x)=e^x[f'(x)-f(x)]$, $x \in \mathbb{R}$, é constante.
$\hspace{0.3cm}$ b) Prove que existe uma constante $A$ tal que, para todo $x$, $\bigg[\dfrac{f(x)-A e^{-x}}{e^x}\bigg]'=0$
$\hspace{0.3cm}$ c) Conclua de ($b$) que existe uma constante $B$ tal que, $f(x)=A e^{-x}+B{e^x}$, para todo $x$.

8) Sejam $f$ e $g$ duas funções definidas e deriváveis em $\mathbb{R}$. Suponha que $f(0)=0$, $g(0)=1$ e que para todo $x$. \[ f'(x)=-g(x), \ \ g'(x)=-f(x) \] $\hspace{0.3cm}$ a) Mostre que para todo $x$,
\[ (f(x)-\textrm{sen}x)^2+(g(x)-\cos x)^2=0 \] $\hspace{0.3cm}$ b) Conclua de ($a$) que $f(x)=\textrm{sen}x$ e $g(x)=\cos x$.

9) Utilizando o Exercício 1, determine a única função $y=y(x)$, $x\in \mathbb{R}$, que satisfaça as condições dadas.
$\hspace{0.3cm}$ a) $\dfrac{dy}{dx}=2y$, $y(0)=1$.
$\hspace{0.3cm}$ b) $\dfrac{dy}{dx}=-y$, $y(0)=-1$.
$\hspace{0.3cm}$ c) $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2}y$, $y(0)=2$.
$\hspace{0.3cm}$ d) $\dfrac{dy}{dx}=\sqrt{2}y$, $y(0)=-\dfrac{1}{2}$.

10) Determine a função cujo gráfico passe pelo ponto $(0, 1)$ e tal que a reta tangente no ponto de abscissa $x$ intercepte o eixo $0x$ no ponto de abscissa $x+1$.

11) Determine uma função $y=f(x)$, definida num intervalo aberto, satisfazendo as condições dadas.
$\hspace{0.3cm}$ a) $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{y^3}$, $y(0)=1$.
$\hspace{0.3cm}$ b) $\dfrac{dy}{dx}=y\ \textrm{sen}x$, $y(0)=1$.

12) Seja $f : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, derivável até 2ª ordem e tal que, para todo $x$,
\[ f''(x)=-f(x) \] $\hspace{0.3cm}$ a) Mostre que para todo $x$,
\[ \dfrac{d}{dx}\Big[(f'(x))^2+(f(x))^2\Big]=0. \] $\hspace{0.3cm}$ b) Conclua que existe uma constante $E$ tal que, para todo $x$,
\[ (f'(x))^2+(f(x))^2=E. \] 13) Sejam $f(t)$, $g(t)$ e $h(t)$ deriváveis em $\mathbb{R}$ e tais que, para todo $t$, \[ f'(t)=g(t), \ \ g'(t)=-f(t)-h(t), \ \ h'(t)=g(t). \] Suponha que $f(0)=g(0)=h(0)=1$. Prove que, para todo $t$, \[ (f'(t))^2+(g(t))^2+(h(t))^2=3. \] 14) Sejam $f(t)$ e $g(t)$ deriváveis em $\mathbb{R}$ e tais que, para todo $t$, \[ f'(t)=2g(t), \ \ g'(t)=-f(t). \] Suponha, ainda, que $f(0)=0$ e $g(0)=1$. Prove que, para todo $t$, o ponto $(f(t),g(t))$, pertence à elipse $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1.$


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Guidorizzi Vol 1 Seção 7.12 - Derivação da Função f(x)^{g(x)}

1) Calcule a derivada.
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ f(x)=5^x-\textrm{log}_3 x$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ y=2^{x^2}+3^{2x}$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ g(x)=3^{2x+1}+\textrm{log}_2(x^2+1)$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ y=(2x+1)^x$.
$\hspace{0.3cm}$ e)$\ f(x)=x^{\textrm{sen}3x}$.
$\hspace{0.3cm}$ f)$\ g(x)=(3+\cos x)^x$.
$\hspace{0.3cm}$ g)$\ y=x^x \textrm{sen} \ x$.
$\hspace{0.3cm}$ h)$\ y=x^{x^2+1}$.
$\hspace{0.3cm}$ i)$\ y=(1+i)^{-t}$, $i$ constante.
$\hspace{0.3cm}$ j)$\ y=10^{x}-10^{-x}$.
$\hspace{0.3cm}$ l)$\ y=(2+\textrm{sen} \ x)^{\cos \ 3x}$.
$\hspace{0.3cm}$ m)$\ y=\ln (1+\frac{1}{x})$.
$\hspace{0.3cm}$ n)$\ y=(1+1^x)^x$.
$\hspace{0.3cm}$ o)$\ y=x^{x^x}$.
$\hspace{0.3cm}$ p)$\ y=x^{\pi}+\pi^x$.
$\hspace{0.3cm}$ q)$\ y=(1+x)^{e^{-x}}$.

2) Sejam $f$ e $g$ deriváveis em $A$, com $f(x)>0$ em $A$. Verifique que, para todo $x \in A$, \[ [f(x)^{g(x)}]'=f(x)^{g(x)}g'(x) \ln \ f(x)+g(x)f(x)^{g(x)-1}f'(x) \] Observe: ́A primeira parcela é a derivada de $f(x)^{g(x)}$, supondo $f$ constante e a segunda é a derivada de $f(x)^{g(x)}$, supondo $g$ constante.

3) Utilizando o resultado obtido no Exercício 2, calcule a derivada.
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ y=(x+2)^x$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ y=(1+e^x)^{x^2}$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ y=(4+\textrm{sen}\ 3x)^x$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ y=(x+3)^{x^2}$.
$\hspace{0.3cm}$ e)$\ y=(3+\pi)^{x^2}$.
$\hspace{0.3cm}$ f)$\ y=(x^2+1)^{\pi}$.

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Guidorizzi Vol 1 Seção 7.13 - Derivação da Função Dada Implicitamente

1) Suponha que $y=f(x)$ seja uma função derivável e dada implicitamente pela equação.
\[ xy^2+y+x=1. \]
Mostre que $f'(x)=\dfrac{-1-[f(x)]^2}{2xf(x)+1}$ em todo $x \in D_f$, com $2xf(x)+1 \neq 0$.

2) Determine uma função $y=f(x)$ que seja dada implicitamente pela equação $xy^2+y+x=1$.

3) A função $y=f(x)$ é dada implicitamente pela equação $xy+3=2x$. Mostre que $x \dfrac{dx}{dy}=2-y$. Calcule $\frac{dx}{dy}\big|_{x=2}$

4) Expresse $\dfrac{dx}{dy}$ em termos de $x$ e de $y$, em que $y=f(x)$ é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ x^2-y^2=4$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ y^3+x^2y=x+4$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ xy^2+2y=3$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ y^5+y=x$.
$\hspace{0.3cm}$ e)$\ x^2+4y^2=3$.
$\hspace{0.3cm}$ f)$\ xy+y^3=x$.
$\hspace{0.3cm}$ g)$\ x^2+y^2+2y=0$.
$\hspace{0.3cm}$ h)$\ x^2y^3+xy=2$.
$\hspace{0.3cm}$ i)$\ xe^y+xy=3$.
$\hspace{0.3cm}$ j)$\ y+\ln (x^2+y^2)=4$.
$\hspace{0.3cm}$ l)$\ 5y+ \cos y=xy$.
$\hspace{0.3cm}$ m)$\ 2y+ \textrm{sen} \ y=x$.

5) A função $y=f(x)$, $y>0$, é dada implicitamente por $x^2+4y^2=2$. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f$, no ponto de abscissa 1.

6) Determine a equação da reta tangente à elipse $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, no ponto $(x_0,y_0)$, $y \neq 0$.

7) Verifique que $y_0x+x_0y=2$ é a equação da reta tangente à curva $xy=1$ no ponto $(x_0,y_0), \ x_0>0$. Conclua que $(x_0,y_0)$ é o ponto médio do segmento $AB$, em que $A$ e $B$ são as interseções da reta tangente, em $(x_0,y_0)$, com os eixos coordenados.

8) Suponha que $y=f(x)$ seja uma função derivável dada implicitamente pela equação $y^3+2xy^2+x=4$. Suponha, ainda, que $1 \in D_f$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Calcule $f(1)$.
$\hspace{0.3cm}$ b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f$, no ponto de abscissa 1.

9) A reta tangente à curva $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1$, no ponto $(x_0,y_0)$, $x_0>0$ e $y_0>0$, intercepta os eixos $x$ e $y$ nos pontos $A$ e $B$, respectivamente. Mostre que a distância de $A$ e $B$ não depende de $(x_0,y_0)$.

10) A reta tangente à curva $xy-x^2=1$ no ponto $(x_0,y_0)$, $x_0>0$, intercepta o eixo $y$ no ponto $B$. Mostre que a área do triângulo de vértices $(0,0)$, $(x_0,y_0)$, e $B$ não depende de $(x_0,y_0)$, $x_0>0$.

11) A função $y=f(x)$ é dada implicitamente pela equação $3y^2+2xy-x^2=3$. Sabe-se que, para todo $x \in D_f$, $f(x)>0$ e que $f$ admite uma reta tangente $T$ paralela à reta $5y-x=2$. Determine $T$.

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Guidorizzi Vol 1 Seção 12.5 - Primitiva de Funções Racionais do Tipo $$\int \dfrac{P(x)}{(x-\alpha)(x-\beta)}dx$$

Calcule:

1) $$\int \dfrac{1}{x^2-4}dx$$
2) $$\int \dfrac{x}{x^2-5x+6}dx$$
3) $$\int \dfrac{x}{x^2-4}dx$$
4) $$\int \dfrac{2x+1}{x^2-1}dx$$
5) $$\int \dfrac{5x^2+1}{x-1}dx$$
7) $$\int \dfrac{x^2+3x+1}{x^2-2x-3}dx$$
8) $$\int \dfrac{x^2+1}{(x-2)^3}dx$$
9) $$\int \dfrac{x+3}{x^2-x}dx$$
10) $$\int \dfrac{x^2+x+1}{x^2-x}dx$$
11) $$\int \dfrac{x^3+x+1}{x^2-2x+1}dx$$
12) $$\int \dfrac{x^3+x+1}{x^2-4x+3}dx$$
13) $$\int \dfrac{1}{x^2+5}dx$$
14) $$\int \dfrac{x+1}{x^2+9}dx$$
15) $$\int \dfrac{x^2+3}{x^2-9}dx$$
16) $$\int \dfrac{1}{x^2-x-2}dx$$
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Álgebra Linear e aplicações (Callioli) - Núcleo, Imagem, Isomorfismos e Automorfismos

1) Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar uma base a dimensão do núcleo e da imagem:
$\hspace{0.3cm}$ a) $\ F:\mathbb{R^3} \rightarrow\mathbb{R}$ tal que $F(x,y,z)=x+y-z$.
$\hspace{0.3cm}$ b) $\ F:\mathbb{R^2} \rightarrow\mathbb{R^2}$ tal que $F(x,y)=(2x,x+y)$.
$\hspace{0.3cm}$ c) $\ F:\mathbb{R^3} \rightarrow\mathbb{R^4}$ tal que $F(x,y,z)=(x-y-z,x+y+z,2x-y+z,-y)$.
$\hspace{0.3cm}$ d) $\ F:P_2(\mathbb{R}) \rightarrow P_2(\mathbb{R})$ tal que $F(f(t))=t^2f''(t)$.
$\hspace{0.3cm}$ e) $\ F:M_2(\mathbb{R}) \rightarrow M_2(\mathbb{R})$ dada por $F(X)=MX+X$, onde $$M= \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$$ $\hspace{0.3cm}$ f) $\ F:M_2(\mathbb{R}) \rightarrow M_2(\mathbb{R})$ dada por $F(X)=MX-XM$, onde $$M= \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$ 2) Determinar um operador linear $\ F:\mathbb{R^3} \rightarrow\mathbb{R^3}$ cuja imagem é gerada $(2,1,1)$ e $(1,-1,2)$.

3) Determinar um operador linear do $\mathbb{R^4}$ cujo núcleo é gerado $(1,1,0,0)$ e $(0,0,1,0)$.

4) Determinar um operador linear do $\mathbb{R^3}$ cujo núcleo tenha dimensão 1.

5) Seja $F:\mathbb{R^3} \rightarrow\mathbb{R^3}$ tal que $F(1,0,0)=(1,1,0)$, $F(0,0,1)=(0,0,2)$ e $F(0,1,0)=(1,1,2)$. Determinar uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais: $\ker F$, $\Im F$, $\ker F \cap \textrm{Im} F$ e $\ker F + \textrm{Im}F$.

6) Mostrar que cada um dos operadores lineares do $\mathbb{R^3}$ a seguir e determinar o homomorfismo inverso em cada caso:
$\hspace{0.3cm}$ a) $\ F(x,y,z)=(x-3y-2z, y-4z, z)$.
$\hspace{0.3cm}$ b) $\ F(x,y,z)=(x, x-y, 2x+y-z)$.

7) Considere o operador linear do $\mathbb{R^3}$ definido por $F(1,0,0)=(1,1,1)$, $F(0,1,0)=(1,0,1)$ e $F(0,1,2)=(0,0,4)$. $F$ é inversível? Se for, determine o isomorfismo inverso.

8) Sejam $u,v \in\mathbb{R}^2$ tais que $\{u,v\}$ é uma base de $\mathbb{R}^2$. Seja $F:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^n$ uma transformação linear, mostrar que uma das seguintes alternativas se verifica:
$\hspace{0.3cm}$ a) $\{F(u),F(v)\}$ é LI.
$\hspace{0.3cm}$ b) $\dim \textrm{Im}=1$.
$\hspace{0.3cm}$ c) $\textrm{Im} F = \{0\}$.

9) Sejam $U$ e $V$ subespaços do espaço vetorial $W$ tais que $W=U\oplus V$. Consideremos o espaço vetorial $U\times V$ cuja adição é $(u_1,v_1)+(u_2,v_2)=(u_1+u_2,v_1+v_2)$ e cuja multiplicação por escalares é dada por $\alpha(u,v)=(\alpha u,\alpha v)$. Mostrar que é um isomorfismo de $U\times V$ em $W$ a aplicação assim definida: $F(u,v)=u+v$.

10) Seja $\{e_1,\dots,e_n\}$ a base canônica do $\mathbb{R^n}$. Seja $F:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ o operador linear dado por $F(e_1)=e_2, F(e_2)=e_3, \dots F(e_n)=e_1$. Determinar $F(x_1,\dots,x_n)$ e verificar se $F$ é um automorfismo. Se for, ache o automorfismo inverso.

11) Considere uma transformação linear $T:U\rightarrow V$. Provar que se o conjunto $\{T(u_1),\dots,T(u_r)\}$ é LI em $V$, então $\{u_1,\dots,u_r\}$ é LI em $U$. Provar que, se $T$ é injetora e $\{u_1,\dots,u_r\}$ é LI em $U$, então $\{T(u_1),\dots,T(u_r)\}$ é LI em $V$.

12) Consideremos o espaço vetorial $F:\mathbb{R}^\infty=\{(a_1,a_2,...)|a_i\in \mathbb{R}\}$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Mostrar que a transformação linear $\ T:\mathbb{R}^\infty \rightarrow\mathbb{R}^\infty$ tal que $T(a_1,a_2,...)=(0,a_1,a_2,...)$ é injetora mas não é sobrejetora.
$\hspace{0.3cm}$ b) Mostrar que a transformação linear $\ F:\mathbb{R}^\infty \rightarrow\mathbb{R}^\infty$ tal que $F(a_1,a_2,...)=(a_2,a_3,...)$ é sobrejetora mas não é injetora.
$\hspace{0.3cm}$ c) Encontrar uma aplicação linear injetora de $P(\mathbb{R})$ em $\mathbb{R}^\infty$.

13) Consideremos uma transformação linear $T:U\rightarrow V$. Se $\dim U > \dim V$, prove que existe um vetor não nulo $u_0 \in U$ tal que $F(u_0)=0$ (vetor nulo de $V$). (Ou seja, $F$ não é injetora).

14) Seja $W=U\oplus V$. Consideremos os operadores lineares de $W$ (projeções sobre $U$ e $V$, respectivamente) dados por $P_1(u+v)=u$ e $P_2(u+v)=v, \forall u+v \in W$. Definido $H:W \rightarrow W$, por $H(w)=P_1(w)-P_2(w),\forall w \in W$. Mostre que $H$ úm isomorfismo so espaço vetorial $W$ nele mesmo, isto é, $H$ é um automorfismo de $W$.

Tome $W=\mathbb{R}^2$, $U=[(1,1)]$, $V=[(1,-1)]$ e represente geometricamente $U$, $V$, $W$, $P_1$, $P_2$ e $H$.

15) Provar que $\mathbb{R}^2$ é isomorfo a qualquer subespaço de dimensão 2 do $\mathbb{R}^3$.

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