Guidorizzi Vol 3, Seção 6.5 - Integral de Linha relativa ao comprimento de arco

1) Calcule: $\displaystyle\int_\gamma \sqrt[3]{x}\ dx+\dfrac{dy}{1+y^2}$ onde $\gamma$ é a curva
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ \int_{\gamma}(x^2+y^2)\ ds$, onde $\gamma(t)=(t,t)$, $-1\leq t\leq 1$.

$\hspace{0.3cm}$ b)$\ \int_{\gamma}(2xy+y^2)\ ds$, onde $\gamma(t)=(t+1,t-1)$, $0\leq t\leq 1$.

$\hspace{0.3cm}$ c)$\ \int_{\gamma}xyz\ ds$, onde $\gamma(t)=(\cos t,\sin t,t)$, $0\leq t\leq 2\pi$.

2) Calcule a massa do fio $\gamma(t)=(t,2t,3t)$, $0\leq t\leq 1$, cuja densidade linear é $\delta(x,y,z)=x+y+z$.

3) Calcule a massa do fio $\gamma(t)=(\cos t,\sin t,t)$, $0\leq t\leq \pi$, com densidade linear $\delta(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$.

4) Calcule o momento de inércia de um fio homogêneo com a forma de uma circunferência de raio $R$ em torno de um diâmetro.

5) Calcule o momento de inércia do fio $\gamma(t)=(t,2t,3t)$, $0\leq t\leq 1$, cuja densidade linear é $\delta(x,y,z)=x+y+z$, em torno do eixo $Oz$.

6) Calcule o momento de inércia de um fio retilíneo, homogêneo, de comprimento $L$, em torno de um eixo perpendicular ao fio e passando por uma das extremidades do fio.

7) Calcule o momento de inércia do fio $\gamma(t)=(\cos t,\sin t,t)$, $0\leq t\leq \dfrac{\pi}{2}$ em torno do eixo $Ox$.

8) O \textbf{centro de massa} de um fio $\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}^3$ é o ponto $(x_C,y_C,z_C)$ dado por \[ x_C=\dfrac{\int_\gamma x\ dm}{\int_\gamma dm}, \ y_C=\dfrac{\int_\gamma y\ dm}{\int_\gamma dm}, \ z_C=\dfrac{\int_\gamma z\ dm}{\int_\gamma dm} \] onde $dm=\delta(x,y,z)ds$ é o elemento de massa. Calcule o centro de massa do fio homogêneo dado.
$\hspace{0.3cm}$ a)$\gamma(t)=(\cos t,\sin t,t)$, $0\leq t\leq \dfrac{\pi}{2}$.

$\hspace{0.3cm}$ b)$\gamma(t)=(t,t^2,0)$, $-1\leq t\leq 1$.

9) Calcule o centro de massa do fio homogêneo $\gamma(t)=(t,t,t)$, $0\leq t\leq 1$, com densidade linear é $\delta(x,y,z)=xyz$.

10) Seja $\gamma_1:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}^2$ uma curva de classe $C^1$ e seja $f(x,y)$ um campo escalar contínuo na imagem de $\gamma_1$. Seja $\gamma_2:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}^2$ dada por \begin{eqnarray} \gamma_2(t)= \gamma_1(a+b-t). \end{eqnarray} Prove que: \[ \int_{\gamma_1} f(x,y)\ ds=\int_{\gamma_2} f(x,y)\ ds. \] Interprete o resultado. Dê exemplos de curvas satisfazendo $(1)$.

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Guidorizzi Vol 3, Seção 6.4 - Integral de linha sobre uma curva de classe C¹ por partes

1) Calcule $\displaystyle\int_\gamma \sqrt[3]{x}\ dx+\dfrac{dy}{1+y^2}$ onde $\gamma$ é a curva

2) Calcule $\displaystyle\int \textbf{F}\cdot d\textbf{r}$, onde $\textbf{F}(x,y)=\textbf{j}$ e $\gamma$ é a curva do Exercício 1.

3) Calcule $\displaystyle\int_\gamma (x-y)dx+e^{x+y}\ dy$, onde $\gamma$ é a fronteira do triângulo de vértices $(0,0)$, $(0,1)$ e $(1,2)$, orientada no sentido anti-horário.

4) Calcule $\displaystyle\int_\gamma x\ dx+dy$, onde $\gamma$ é a poligonal de vértices $A_0=(0,0)$, $A_1=(1,2)$, $A_2=(-1,3)$, $A_3=(-2,1)$ e $A_4=(-1,-1)$, sendo $\gamma(t)$ orientada de $A_0$ para $A_4$.

5) Calcule $\displaystyle\int_\gamma y^2\ dx+x\ dy- dz$, onde $\gamma$ é a poligonal de vértices $A_0=(0,0,0)$, $A_1=(1,1,1)$ e $A_2=(1,1,0)$, sendo $\gamma(t)$ orientada de $A_0$ para $A_2$.

6) Calcule $\displaystyle\int_\gamma x^2\ dx+y^2\ dy+z^2\ dz$, onde $\gamma$ é a curva do Exercício 5.

7) Verifique que \[ \int_\gamma P\ dx+Q\ dy= \int\int_B \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dx\ dy \] onde $B$ é o triângulo de vértices $(0,0)$, $(1,0)$ e $(1,1)$; $\gamma$ é a fronteira de $B$ orientada no sentido anti-horário, $P(x,y)=x^2-y$ e $Q(x,y)=x^2+y$.

8) Seja $B$ é o triângulo de vértices $(0,0)$, $(1,0)$ e $(1,1)$; $\gamma$ é a fronteira de $B$ orientada no sentido anti-horário. Verifique que \[ \int_\gamma P\ dx+Q\ dy= \int\int_B \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dx\ dy \] onde $P$ e $Q$ são supostas de classe $C^1$ num aberto $\Omega$ contendo $B$.

9) Verifique a relação do exercício anterior supondo $B$ o quadrado de vértices $(-1,-1)$, $(1,-1)$, $(1,1)$ e $(-1,1)$, onde $\gamma$ é a fronteira de $B$ orientada no sentido anti-horário.

10) Sejam $f,g:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ duas funções de classe $C^1$ tais que , para todo $x$ em $\left[a,b\right]$, $f(x)\leq y \leq g(x)$, $a\leq x \leq b$. Seja $\gamma$ a fronteira de $B$ orientada no sentido anti-horário. Prove que \[ \int_\gamma P\ dx= \int\int_B \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dx\ dy \] onde $P$ é suposta de classe $C^1$ num aberto que contem $B$.

11) Sejam $B$ e $\gamma$ como no Exercício 10. Prove que \[ \textrm{área de}\ B=-\int_\gamma y\ dx. \].

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Guidorizzi Vol 3, Seção 6.3 - Mudança de parâmetro.

1) Seja $\textbf{F}$ um campo vetorial contínuo em $\mathbb{R}^2$. Justifique as igualdades.
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ \displaystyle\int_{\gamma_1}\textbf{F}\cdot d\gamma_1=\int_{\gamma_2}\textbf{F}\cdot d\gamma_2$, onde $\gamma_1(t)=(t,t^2)$ , $0\leq t\leq 1$, e $\gamma_2(u)=\left(\dfrac{u}{2},\dfrac{u^2}{4}\right)$ , $0\leq u\leq 2$.

$\hspace{0.3cm}$ b)$\ \displaystyle\int_{\gamma_1}\textbf{F}\cdot d\gamma_1=\int_{\gamma_2}\textbf{F}\cdot d\gamma_2$, onde $\gamma_1(t)=(\cos t,\sin t)$ , $0\leq t\leq 2\pi$, e $\gamma_2(u)=(\cos 2u,\sin 2u)$ , $0\leq u\leq \pi$.

$\hspace{0.3cm}$ c)$\ \displaystyle\int_{\gamma_1}\textbf{F}\cdot d\gamma_1=-\int_{\gamma_2}\textbf{F}\cdot d\gamma_2$, onde $\gamma_1(t)=(\cos t,\sin t)$ , $0\leq t\leq 2\pi$, e $\gamma_2(u)=(\cos(2\pi-u),\sin (2\pi-u))$ , $0\leq u\leq 2\pi$.

$\hspace{0.3cm}$ d)$\ \displaystyle\int_{\gamma_1}\textbf{F}\cdot d\gamma_1=-\int_{\gamma_2}\textbf{F}\cdot d\gamma_2$, onde $\gamma_1(t)=(t,t^3)$ , $-1\leq t\leq 1$, e

$\gamma_2(u)=(1-u,(1-u)^3))$ , $0\leq u\leq 2$.

2) Seja $\textbf{F}$ um campo vetorial contínuo em $\Omega$ e sejam $\gamma_1:\left[a,b\right]\rightarrow\Omega$ e $\gamma_2:\left[c,d\right]\rightarrow\Omega$ duas curvsa quaisquer de classe $C^1$, tais que $\Im\gamma_1=\Im\gamma_2$. A afirmação \[ \int_{\gamma_1}\textbf{F}\cdot d\gamma_1=\int_{\gamma_2}\textbf{F}\cdot d\gamma_2 \ \ \textrm{ou}\ \ \int_{\gamma_1}\textbf{F}\cdot d\gamma_1=-\int_{\gamma_2}\textbf{F}\cdot d\gamma_2 \] é verdadeira ou falsa? Justifique.

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Guidorizzi Vol 3, Seção 6.2 - Outra notação para a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva

1) Calcule $\displaystyle\int_\gamma x\ dx+y\ dy$ sendo $\gamma$ dada por $x=t^2$, $y=\sin t$, $0\leq t\leq\dfrac{\pi}{2}$.

2) Calcule $\displaystyle\int_\gamma x\ dx-y\ dy$, onde $\gamma$ é o segmento de extremidades $(1,1)$ e $(2,3)$, percorrido no sentido de $(1,1)$ para $(2,3)$.

3) Calcule $\displaystyle\int_\gamma x\ dx+y\ dy+z\ dz$, onde $\gamma$ é o segmento de extremidades $(0,0,0)$ e $(1,2,1)$, percorrido no sentido de $(1,2,1)$ para $(0,0,0)$.

4) Calcule $\displaystyle\int_\gamma x\ dx+dy+2z\ dz$, onde $\gamma$ é a interseção do paraboloide $z=x^2+y^2$ com o plano $z=2x+2y-1$. o sentido do percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de $\gamma(t)$, no plano $xy$, caminhe no sentido anti-horário.

5) Calcule $\displaystyle\int_\gamma dx+xy\ dy+z\ dz$, onde $\gamma$ é a interseção de $x^2+y^2+z^2=2$, $x\geq 0$, $y\geq 0$, $z\geq 0$, com o plano $y=x$; o sentido do percurso é do ponto $\left(0,0,\sqrt{2}\right)$ para $(1,1,0)$.

6) Calcule $\displaystyle\int_\gamma 2\ dx-dy$, onde $\gamma$ tem por imagem $x^2+y^2=4$, o sentido do percurso é de $(2,0)$ para $(0,2)$.

7) Calcule $\displaystyle\int_\gamma \dfrac{-y}{4x^2+y^2}dx+\dfrac{x}{4x^2+y^2}dy$, onde $\gamma$ tem por imagem a elipse $4x^2+y^2=9$, o sentido do percurso é o anti-horário.

8) Seja $\gamma(t)=(R\cos t, R\sin t)$,$0\leq t\leq 2\pi$ $(R>0)$. Mostre que \[ \displaystyle\int_\gamma \dfrac{-y}{x^2+y^2}dx+\dfrac{x}{x^2+y^2}dy\] não depende de $R$.

9) Calcule $\displaystyle\int_\gamma dx+y\ dy+z\ dz$, onde $\gamma$ é a interseção do plano $y=x$ com a superfície $z=x^2+y^2$, $z\leq 2$, sendo o sentido do percurso é do ponto $(-1,-1,2)$ para o ponto $(1,1,2)$.

10) Calcule $\displaystyle\int_\gamma dx+dy+dz$, onde $\gamma$ é a interseção entre as superfícies $y=x^2$ e $z=2-x^2-y^2$, $x\geq 0$, $y\geq 0$, $z\geq 0$, sendo o sentido do percurso é do ponto $(1,1,0)$ para o ponto $(0,0,2)$.

11) Calcule $\displaystyle\int_\gamma 2x\ dx+z\ dy+x\ dz$, onde $\gamma$ é a interseção das superfícies $x^2+4y^2=1$ e $x^2+z^2=1$, $y\geq 0$, $z\geq 0$, sendo o sentido do percurso é do ponto $(1,0,0)$ para o ponto $(-1,0,0)$.

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Guidorizzi Vol 3, Seção 6.1 - Integral de Linha

1) Calcule $\displaystyle\int_\gamma\textbf{F}\cdot d\textbf{r}$ sendo dados:
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ \textbf{F}(x,y,z)=x\textbf{i}+y\textbf{j}+z\textbf{k}$ e $\gamma(t)=(\cos t,\sin t, t), 0\leq t\leq 2\pi$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ \textbf{F}(x,y,z)=(x+y+z)\textbf{k}$ e $\gamma(t)=(t,t,1-t^2), 0\leq t\leq 1$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ \textbf{F}(x,y)=x^2\textbf{j}$ e $\gamma(t)=(t^2,3), -1\leq t\leq 1$.
$\hspace{0.3cm}$ d)$\ \textbf{F}(x,y)=x^2\textbf{i}+(x-y)\textbf{j}$ e $\gamma(t)=(t,\sin t), 0\leq t\leq \pi$.
$\hspace{0.3cm}$ e)$\ \textbf{F}(x,y,z)=x^2\textbf{i}+y^2\textbf{j}+z^2\textbf{k}$ e $\gamma(t)=(2\cos t,3\sin t, t), 0\leq t\leq 2\pi$.

2) Seja $\textbf{F}:\mathbb{R}^2\leftarrow\mathbb{R}^2$ um campo vetorial contínuo tal que, para todo $(x,y)$, $\textbf{F}(x,y)$ é paralelo ao vetor $x\textbf{i}+y\textbf{j}$. Calcule $\displaystyle\int_\gamma\textbf{F}\cdot d\textbf{r}$, onde $\gamma:\left[a,b\right]\leftarrow\mathbb{R}^2$ é uma curva de classe $C^1$, cuja imagem está contida na circunferência de centro na origem e raio $r>0$. Interprete geometricamente.

3) Uma partícula move-se no plano de modo que no instante $t$ sua posição é dada por $\gamma(t)=(t,t^2)$. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças $\textbf{F}(x,y)=(x+y)\textbf{i}+(x-y)\textbf{j}$ no deslocamento da partícula de $\gamma(0)$ até $\gamma(1)$.

4) Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por $\textbf{F}(x,y,z)=-y\textbf{i}+x\textbf{j}+z\textbf{k}$. Calcule o trabalho realizado por $\textbf{F}$ no deslocamento da partícula de $\gamma(a)$ até $\gamma(b)$, sendo dados:
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ \gamma(t)=(\cos t,\sin t, t)$, $a=0$ e $b=2\pi$.
$\hspace{0.3cm}$ b)$\ \gamma(t)=(2t+1,t-1,t)$, $a=1$ e $b=2$.
$\hspace{0.3cm}$ c)$\ \gamma(t)=(\cos t,0,\sin t)$, $a=0$ e $b=2\pi$.

5) Calcule $\displaystyle\int_\gamma\textbf{E}\cdot d\textbf{l}$, onde $E(x,y)=\dfrac{1}{x^2+y^2}\dfrac{x\textbf{i}+y\textbf{j}}{\sqrt{x^2+y^2}}$ e $\gamma(t)=(t,1)$, $-1\leq t\leq 1$. (O $\textbf{l}$ desempenha aqui o mesmo papel que o $\textbf{r}$: $\textbf{l}(t)=\gamma(t)$).

6)Seja $\textbf{E}$ o campo do exercício anterior e seja $\gamma$ acurva dada por $x=t$ e $y=1-t^4$,$-1\leq t\leq 1$.
$\hspace{0.3cm}$ a) Que valor é razoável esperar para $\displaystyle\int_\gamma\textbf{E}\cdot d\textbf{l}$? Por quê?
$\hspace{0.3cm}$ b) Calcule $\displaystyle\int_\gamma\textbf{E}\cdot d\textbf{l}$.

7) Calcule $\displaystyle\int_\gamma\textbf{E}\cdot d\textbf{l}$, onde $\textbf{E}$ é o campo dado no Exercício 5 e $\gamma$ a curva dada por $x=2\cos t$, $y=\sin t$, com $0\leq t \leq \dfrac{\pi}{2}$.

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