Guidorizzi Vol 3, Seção 6.3 - Mudança de parâmetro.

1) Seja $\textbf{F}$ um campo vetorial contínuo em $\mathbb{R}^2$. Justifique as igualdades.
$\hspace{0.3cm}$ a)$\ \displaystyle\int_{\gamma_1}\textbf{F}\cdot d\gamma_1=\int_{\gamma_2}\textbf{F}\cdot d\gamma_2$, onde $\gamma_1(t)=(t,t^2)$ , $0\leq t\leq 1$, e $\gamma_2(u)=\left(\dfrac{u}{2},\dfrac{u^2}{4}\right)$ , $0\leq u\leq 2$.

$\hspace{0.3cm}$ b)$\ \displaystyle\int_{\gamma_1}\textbf{F}\cdot d\gamma_1=\int_{\gamma_2}\textbf{F}\cdot d\gamma_2$, onde $\gamma_1(t)=(\cos t,\sin t)$ , $0\leq t\leq 2\pi$, e $\gamma_2(u)=(\cos 2u,\sin 2u)$ , $0\leq u\leq \pi$.

$\hspace{0.3cm}$ c)$\ \displaystyle\int_{\gamma_1}\textbf{F}\cdot d\gamma_1=-\int_{\gamma_2}\textbf{F}\cdot d\gamma_2$, onde $\gamma_1(t)=(\cos t,\sin t)$ , $0\leq t\leq 2\pi$, e $\gamma_2(u)=(\cos(2\pi-u),\sin (2\pi-u))$ , $0\leq u\leq 2\pi$.

$\hspace{0.3cm}$ d)$\ \displaystyle\int_{\gamma_1}\textbf{F}\cdot d\gamma_1=-\int_{\gamma_2}\textbf{F}\cdot d\gamma_2$, onde $\gamma_1(t)=(t,t^3)$ , $-1\leq t\leq 1$, e

$\gamma_2(u)=(1-u,(1-u)^3))$ , $0\leq u\leq 2$.

2) Seja $\textbf{F}$ um campo vetorial contínuo em $\Omega$ e sejam $\gamma_1:\left[a,b\right]\rightarrow\Omega$ e $\gamma_2:\left[c,d\right]\rightarrow\Omega$ duas curvsa quaisquer de classe $C^1$, tais que $\Im\gamma_1=\Im\gamma_2$. A afirmação $$\int_{\gamma_1}\textbf{F}\cdot d\gamma_1=\int_{\gamma_2}\textbf{F}\cdot d\gamma_2 \ \ \textrm{ou}\ \ \int_{\gamma_1}\textbf{F}\cdot d\gamma_1=-\int_{\gamma_2}\textbf{F}\cdot d\gamma_2$$ é verdadeira ou falsa? Justifique.

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