Guidorizzi Vol 3, Seção 6.2 - Outra notação para a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva

1) Calcule $\displaystyle\int_\gamma x\ dx+y\ dy$ sendo $\gamma$ dada por $x=t^2$, $y=\sin t$, $0\leq t\leq\dfrac{\pi}{2}$.

2) Calcule $\displaystyle\int_\gamma x\ dx-y\ dy$, onde $\gamma$ é o segmento de extremidades $(1,1)$ e $(2,3)$, percorrido no sentido de $(1,1)$ para $(2,3)$.

3) Calcule $\displaystyle\int_\gamma x\ dx+y\ dy+z\ dz$, onde $\gamma$ é o segmento de extremidades $(0,0,0)$ e $(1,2,1)$, percorrido no sentido de $(1,2,1)$ para $(0,0,0)$.

4) Calcule $\displaystyle\int_\gamma x\ dx+dy+2z\ dz$, onde $\gamma$ é a interseção do paraboloide $z=x^2+y^2$ com o plano $z=2x+2y-1$. o sentido do percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de $\gamma(t)$, no plano $xy$, caminhe no sentido anti-horário.

5) Calcule $\displaystyle\int_\gamma dx+xy\ dy+z\ dz$, onde $\gamma$ é a interseção de $x^2+y^2+z^2=2$, $x\geq 0$, $y\geq 0$, $z\geq 0$, com o plano $y=x$; o sentido do percurso é do ponto $\left(0,0,\sqrt{2}\right)$ para $(1,1,0)$.

6) Calcule $\displaystyle\int_\gamma 2\ dx-dy$, onde $\gamma$ tem por imagem $x^2+y^2=4$, o sentido do percurso é de $(2,0)$ para $(0,2)$.

7) Calcule $\displaystyle\int_\gamma \dfrac{-y}{4x^2+y^2}dx+\dfrac{x}{4x^2+y^2}dy$, onde $\gamma$ tem por imagem a elipse $4x^2+y^2=9$, o sentido do percurso é o anti-horário.

8) Seja $\gamma(t)=(R\cos t, R\sin t)$,$0\leq t\leq 2\pi$ $(R>0)$. Mostre que \[ \displaystyle\int_\gamma \dfrac{-y}{x^2+y^2}dx+\dfrac{x}{x^2+y^2}dy\] não depende de $R$.

9) Calcule $\displaystyle\int_\gamma dx+y\ dy+z\ dz$, onde $\gamma$ é a interseção do plano $y=x$ com a superfície $z=x^2+y^2$, $z\leq 2$, sendo o sentido do percurso é do ponto $(-1,-1,2)$ para o ponto $(1,1,2)$.

10) Calcule $\displaystyle\int_\gamma dx+dy+dz$, onde $\gamma$ é a interseção entre as superfícies $y=x^2$ e $z=2-x^2-y^2$, $x\geq 0$, $y\geq 0$, $z\geq 0$, sendo o sentido do percurso é do ponto $(1,1,0)$ para o ponto $(0,0,2)$.

11) Calcule $\displaystyle\int_\gamma 2x\ dx+z\ dy+x\ dz$, onde $\gamma$ é a interseção das superfícies $x^2+4y^2=1$ e $x^2+z^2=1$, $y\geq 0$, $z\geq 0$, sendo o sentido do percurso é do ponto $(1,0,0)$ para o ponto $(-1,0,0)$.

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