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segunda-feira, 7 de maio de 2018

Guidorizzi Vol 3, Seção 6.4 - Integral de linha sobre uma curva de classe C¹ por partes

1) Calcule \displaystyle\int_\gamma \sqrt[3]{x}\ dx+\dfrac{dy}{1+y^2} onde \gamma é a curva

2) Calcule \displaystyle\int \textbf{F}\cdot d\textbf{r}, onde \textbf{F}(x,y)=\textbf{j} e \gamma é a curva do Exercício 1.

3) Calcule \displaystyle\int_\gamma (x-y)dx+e^{x+y}\ dy, onde \gamma é a fronteira do triângulo de vértices (0,0), (0,1) e (1,2), orientada no sentido anti-horário.

4) Calcule \displaystyle\int_\gamma x\ dx+dy, onde \gamma é a poligonal de vértices A_0=(0,0), A_1=(1,2), A_2=(-1,3), A_3=(-2,1) e A_4=(-1,-1), sendo \gamma(t) orientada de A_0 para A_4.

5) Calcule \displaystyle\int_\gamma y^2\ dx+x\ dy- dz, onde \gamma é a poligonal de vértices A_0=(0,0,0), A_1=(1,1,1) e A_2=(1,1,0), sendo \gamma(t) orientada de A_0 para A_2.

6) Calcule \displaystyle\int_\gamma x^2\ dx+y^2\ dy+z^2\ dz, onde \gamma é a curva do Exercício 5.

7) Verifique que \int_\gamma P\ dx+Q\ dy= \int\int_B \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dx\ dy onde B é o triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (1,1); \gamma é a fronteira de B orientada no sentido anti-horário, P(x,y)=x^2-y e Q(x,y)=x^2+y.

8) Seja B é o triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (1,1); \gamma é a fronteira de B orientada no sentido anti-horário. Verifique que \int_\gamma P\ dx+Q\ dy= \int\int_B \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dx\ dy onde P e Q são supostas de classe C^1 num aberto \Omega contendo B.

9) Verifique a relação do exercício anterior supondo B o quadrado de vértices (-1,-1), (1,-1), (1,1) e (-1,1), onde \gamma é a fronteira de B orientada no sentido anti-horário.

10) Sejam f,g:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R} duas funções de classe C^1 tais que , para todo x em \left[a,b\right], f(x)\leq y \leq g(x), a\leq x \leq b. Seja \gamma a fronteira de B orientada no sentido anti-horário. Prove que \int_\gamma P\ dx= \int\int_B \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dx\ dy onde P é suposta de classe C^1 num aberto que contem B.

11) Sejam B e \gamma como no Exercício 10. Prove que \textrm{área de}\ B=-\int_\gamma y\ dx. .

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