Guidorizzi Vol 3, Seção 6.4 - Integral de linha sobre uma curva de classe C¹ por partes

1) Calcule $\displaystyle\int_\gamma \sqrt[3]{x}\ dx+\dfrac{dy}{1+y^2}$ onde $\gamma$ é a curva

2) Calcule $\displaystyle\int \textbf{F}\cdot d\textbf{r}$, onde $\textbf{F}(x,y)=\textbf{j}$ e $\gamma$ é a curva do Exercício 1.

3) Calcule $\displaystyle\int_\gamma (x-y)dx+e^{x+y}\ dy$, onde $\gamma$ é a fronteira do triângulo de vértices $(0,0)$, $(0,1)$ e $(1,2)$, orientada no sentido anti-horário.

4) Calcule $\displaystyle\int_\gamma x\ dx+dy$, onde $\gamma$ é a poligonal de vértices $A_0=(0,0)$, $A_1=(1,2)$, $A_2=(-1,3)$, $A_3=(-2,1)$ e $A_4=(-1,-1)$, sendo $\gamma(t)$ orientada de $A_0$ para $A_4$.

5) Calcule $\displaystyle\int_\gamma y^2\ dx+x\ dy- dz$, onde $\gamma$ é a poligonal de vértices $A_0=(0,0,0)$, $A_1=(1,1,1)$ e $A_2=(1,1,0)$, sendo $\gamma(t)$ orientada de $A_0$ para $A_2$.

6) Calcule $\displaystyle\int_\gamma x^2\ dx+y^2\ dy+z^2\ dz$, onde $\gamma$ é a curva do Exercício 5.

7) Verifique que \[ \int_\gamma P\ dx+Q\ dy= \int\int_B \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dx\ dy \] onde $B$ é o triângulo de vértices $(0,0)$, $(1,0)$ e $(1,1)$; $\gamma$ é a fronteira de $B$ orientada no sentido anti-horário, $P(x,y)=x^2-y$ e $Q(x,y)=x^2+y$.

8) Seja $B$ é o triângulo de vértices $(0,0)$, $(1,0)$ e $(1,1)$; $\gamma$ é a fronteira de $B$ orientada no sentido anti-horário. Verifique que \[ \int_\gamma P\ dx+Q\ dy= \int\int_B \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dx\ dy \] onde $P$ e $Q$ são supostas de classe $C^1$ num aberto $\Omega$ contendo $B$.

9) Verifique a relação do exercício anterior supondo $B$ o quadrado de vértices $(-1,-1)$, $(1,-1)$, $(1,1)$ e $(-1,1)$, onde $\gamma$ é a fronteira de $B$ orientada no sentido anti-horário.

10) Sejam $f,g:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ duas funções de classe $C^1$ tais que , para todo $x$ em $\left[a,b\right]$, $f(x)\leq y \leq g(x)$, $a\leq x \leq b$. Seja $\gamma$ a fronteira de $B$ orientada no sentido anti-horário. Prove que \[ \int_\gamma P\ dx= \int\int_B \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dx\ dy \] onde $P$ é suposta de classe $C^1$ num aberto que contem $B$.

11) Sejam $B$ e $\gamma$ como no Exercício 10. Prove que \[ \textrm{área de}\ B=-\int_\gamma y\ dx. \].

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